Через два часа, каково будет расстояние между двумя автомобилями, если они одновременно начали двигаться в разных

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться теоремой косинусов, которая позволяет нам найти третью сторону треугольника при известных длинах двух других сторон и между ними заключенным углом.

Для начала, давайте найдем время, за которое автомобили пройдут расстояние. Мы знаем, что скорость равна расстоянию, поделенному на время. Обозначим время, за которое автомобили пройдут расстояние, как \(t\).

Для первого автомобиля, расстояние равно произведению скорости на время: \(d_1 = v_1 \cdot t\).
Аналогично, для второго автомобиля: \(d_2 = v_2 \cdot t\).

Теперь мы можем использовать формулу теоремы косинусов, которая гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\],
где \(c\) - третья сторона треугольника, \(a\) и \(b\) - известные стороны, \(C\) - угол между этими сторонами.

В нашем случае, \(a = d_1\), \(b = d_2\) и \(C = 60^\circ\).
Подставим значение и найдем третью сторону треугольника:
\[c^2 = (v_1 \cdot t)^2 + (v_2 \cdot t)^2 - 2 \cdot v_1 \cdot t \cdot v_2 \cdot t \cdot \cos(60^\circ)\].

Теперь избавимся от переменной времени \(t\) и найдем значение расстояния, когда \(t = 2\) часа:
\[c^2 = (40 \cdot 2)^2 + (50 \cdot 2)^2 - 2 \cdot 40 \cdot 2 \cdot 50 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ)\].

Вычислим это выражение:
\[c^2 = 1600 + 2000 - 8000 \cdot \cos(60^\circ)\].
\[c^2 = 3600 - 8000 \cdot \cos(60^\circ)\].

Теперь найдем значение \(\cos(60^\circ)\):
\(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\).

Подставим это значение в выражение и вычислим итоговый ответ:
\[c^2 = 3600 - 8000 \cdot \frac{1}{2}\].
\[c^2 = 3600 - 4000\].
\[c^2 = 400\].

Чтобы найти само расстояние, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
\[c = \sqrt{400}\].
\[c = 20\].

Таким образом, расстояние между двумя автомобилями через два часа будет равно 20 километрам.