Через боковое отверстие бака происходит вытекание воды. При падении с высоты 1м от данного отверстия диаметр струи

Для решения данной задачи мы будем использовать закон Бернулли, который описывает связь между скоростью течения жидкости и её давлением.

Перед тем, как мы начнем решение задачи, давайте разберемся с некоторыми величинами, которые мы будем использовать:

- $h$ - высота воды в баке (значение, которое нам нужно найти);
- $d_1$ - диаметр струи в начальный момент (когда вода только начала вытекать);
- $d_2$ - диаметр струи после падения на расстояние 1м (значение, которое нужно найти);
- $v_1$ - скорость струи в начальный момент (когда вода только начала вытекать);
- $v_2$ - скорость струи после падения на расстояние 1м;
- $P_1$ - давление в начальной точке (на уровне воды в баке);
- $P_2$ - давление после падения струи.

Теперь рассмотрим вытекание воды из бака. По закону сохранения энергии задачу можно представить следующим образом:

Начальная энергия струи (на уровне воды в баке) равна сумме энергии, связанной с её высотой, и кинетической энергией:

$\frac{1}{2}m\cdot v_1^2+m\cdot g\cdot h+P_1\cdot A_1=\text{const}$,

где $m$ - масса струи, $g$ - ускорение свободного падения, $A_1$ - площадь поперечного сечения струи в начальный момент времени.

Также, зная, что:

$A_1=\frac{\pi \cdot {d_1}^2}{4}$,

мы можем записать:

$\frac{1}{2}m\cdot v_1^2+m\cdot g\cdot h+P_1\cdot \frac{\pi \cdot {d_1}^2}{4}=\text{const}$.

Далее, когда струя падает на расстояние 1м, у неё изменяются диаметр ($d_2$) и скорость ($v_2$). Мы знаем, что диаметр струи уменьшается на 10%, поэтому $d_2=0.9\cdot d_1$. Также, по закону сохранения массы, площадь поперечного сечения струи уменьшается в квадрате отношения диаметров:

$\frac{{d_2}^2}{4}=\frac{{d_1}^2}{4}\cdot {0.9}^2$.

Теперь, если мы рассмотрим энергию струи после падения на 1м, получаем:

$\frac{1}{2}m\cdot v_2^2+m\cdot g\cdot (h-1)+P_2\cdot \frac{\pi \cdot {d_2}^2}{4}=\text{const}$.

Так как масса струи ($m$) одинакова и в обоих случаях, и константу мы можем опустить, то остается:

$\frac{1}{2}{v}_1^2+g\cdot h+\frac{P_1\cdot \pi \cdot {d_1}^2}{4}=\frac{1}{2}{v}_2^2+g\cdot (h-1)+\frac{P_2\cdot \pi \cdot {d_2}^2}{4}$.

Теперь, используя известные соотношения для диаметров струи и переходя от площадей поперечных сечений к диаметрам, мы можем записать:

$\frac{1}{2}{v}_1^2+g\cdot h+\frac{P_1\cdot \pi \cdot {d_1}^2}{4}=\frac{1}{2}{v}_2^2+g\cdot (h-1)+\frac{P_2\cdot \pi \cdot {0.9\cdot d_1}^2}{4}$.

Теперь, чтобы решить задачу, нам нужно найти $h$ - высоту воды в баке. Для этого мы можем воспользоваться законом Бернулли, связав давления в начальной и конечной точках:

$$P_1+\rho \cdot g\cdot h=P_2+\rho \cdot g\cdot (h-1),$$

где $\rho$ - плотность воды.

Теперь, имея уравнение для давлений, мы можем подставить его в наше предыдущее уравнение и записать:

$\frac{1}{2}{v}_1^2+g\cdot h+\frac{\pi \cdot {d_1}^2}{4}\cdot (P_1-P_2-\frac{P_2\cdot {0.9}^2}{4})=\frac{1}{2}{v}_2^2+g\cdot (h-1)$.

Теперь, используя связь между скоростью и диаметром струи, $v=\frac{A}{\pi \cdot {\left(\frac{d}{2}\right)}^2}$, мы можем записать:

$\frac{1}{2}\left(\frac{A_1^2}{A_1}\right)+g\cdot h+\frac{\pi \cdot {d_1}^2}{4}\cdot (P_1-P_2-\frac{P_2\cdot {0.9}^2}{4})=\frac{1}{2}\left(\frac{A_2^2}{A_2}\right)+g\cdot (h-1)$.

Учитывая, что $A_1=\pi \cdot {\left(\frac{d_1}{2}\right)}^2$ и $A_2=\pi \cdot {\left(\frac{d_2}{2}\right)}^2$, мы можем продолжить уравнение:

$\frac{{d_1}^2}{4}+g\cdot h+\frac{\pi \cdot {d_1}^2}{4}\cdot (P_1-P_2-\frac{P_2\cdot {0.9}^2}{4})=\frac{{0.9}^2\cdot {d_1}^2}{4}+g\cdot (h-1)$.

Теперь, если мы преобразуем уравнение и выразим $h$, то получаем:

$h=\frac{{d_1}^2}{8\cdot g}\cdot \frac{P_1-P_2-\frac{P_2\cdot {0.9}^2}{4}}{1-\frac{{0.9}^2}{2}}+1$.

Таким образом, высота воды в баке $h$ равна указанному выражению. Это и есть ответ на задачу. Не забывайте, что для окончательного вычисления вам нужно знать значения давления $P_1$ и $P_2$.