Через боковое отверстие бака происходит вытекание воды. При падении с высоты 1м от данного отверстия диаметр струи

Для решения данной задачи мы будем использовать закон Бернулли, который описывает связь между скоростью течения жидкости и её давлением.

Перед тем, как мы начнем решение задачи, давайте разберемся с некоторыми величинами, которые мы будем использовать:

- \(h\) - высота воды в баке (значение, которое нам нужно найти);
- \(d_1\) - диаметр струи в начальный момент (когда вода только начала вытекать);
- \(d_2\) - диаметр струи после падения на расстояние 1м (значение, которое нужно найти);
- \(v_1\) - скорость струи в начальный момент (когда вода только начала вытекать);
- \(v_2\) - скорость струи после падения на расстояние 1м;
- \(P_1\) - давление в начальной точке (на уровне воды в баке);
- \(P_2\) - давление после падения струи.

Теперь рассмотрим вытекание воды из бака. По закону сохранения энергии задачу можно представить следующим образом:

Начальная энергия струи (на уровне воды в баке) равна сумме энергии, связанной с её высотой, и кинетической энергией:

\(\frac{1}{2}m \cdot v_1^2 + m \cdot g \cdot h + P_1 \cdot A_1 = \text{const}\),

где \(m\) - масса струи, \(g\) - ускорение свободного падения, \(A_1\) - площадь поперечного сечения струи в начальный момент времени.

Также, зная, что:

\(A_1 = \frac{\pi \cdot {d_1}^2}{4}\),

мы можем записать:

\(\frac{1}{2}m \cdot v_1^2 + m \cdot g \cdot h + P_1 \cdot \frac{\pi \cdot {d_1}^2}{4} = \text{const}\).

Далее, когда струя падает на расстояние 1м, у неё изменяются диаметр (\(d_2\)) и скорость (\(v_2\)). Мы знаем, что диаметр струи уменьшается на 10%, поэтому \(d_2 = 0.9 \cdot d_1\). Также, по закону сохранения массы, площадь поперечного сечения струи уменьшается в квадрате отношения диаметров:

\(\frac{{d_2}^2}{4} = \frac{{d_1}^2}{4} \cdot 0.9^2\).

Теперь, если мы рассмотрим энергию струи после падения на 1м, получаем:

\(\frac{1}{2}m \cdot v_2^2 + m \cdot g \cdot (h - 1) + P_2 \cdot \frac{\pi \cdot {d_2}^2}{4} = \text{const}\).

Так как масса струи (\(m\)) одинакова и в обоих случаях, и константу мы можем опустить, то остается:

\(\frac{1}{2}v_1^2 + g \cdot h + \frac{P_1 \cdot \pi \cdot {d_1}^2}{4} = \frac{1}{2}v_2^2 + g \cdot (h - 1) + \frac{P_2 \cdot \pi \cdot {d_2}^2}{4}\).

Теперь, используя известные соотношения для диаметров струи и переходя от площадей поперечных сечений к диаметрам, мы можем записать:

\(\frac{1}{2}v_1^2 + g \cdot h + \frac{P_1 \cdot \pi \cdot {d_1}^2}{4} = \frac{1}{2}v_2^2 + g \cdot (h - 1) + \frac{P_2 \cdot \pi \cdot {0.9 \cdot d_1}^2}{4}\).

Теперь, чтобы решить задачу, нам нужно найти \(h\) - высоту воды в баке. Для этого мы можем воспользоваться законом Бернулли, связав давления в начальной и конечной точках:

\[P_1 + \rho \cdot g \cdot h = P_2 + \rho \cdot g \cdot (h - 1),\]

где \(\rho\) - плотность воды.

Теперь, имея уравнение для давлений, мы можем подставить его в наше предыдущее уравнение и записать:

\(\frac{1}{2}v_1^2 + g \cdot h + \frac{\pi \cdot {d_1}^2}{4} \cdot \left ( P_1 - P_2 - \frac{P_2 \cdot {0.9}^2}{4} \right ) = \frac{1}{2}v_2^2 + g \cdot (h - 1)\).

Теперь, используя связь между скоростью и диаметром струи, \(v = \frac{A}{\pi \cdot \left ( \frac{d}{2} \right )^2}\), мы можем записать:

\(\frac{1}{2} \left ( \frac{A_1^2}{A_1} \right ) + g \cdot h + \frac{\pi \cdot {d_1}^2}{4} \cdot \left ( P_1 - P_2 - \frac{P_2 \cdot {0.9}^2}{4} \right ) = \frac{1}{2} \left ( \frac{A_2^2}{A_2} \right ) + g \cdot (h - 1)\).

Учитывая, что \(A_1 = \pi \cdot \left( \frac{d_1}{2} \right)^2\) и \(A_2 = \pi \cdot \left( \frac{d_2}{2} \right)^2\), мы можем продолжить уравнение:

\(\frac{{d_1}^2}{4} + g \cdot h + \frac{\pi \cdot {d_1}^2}{4} \cdot \left ( P_1 - P_2 - \frac{P_2 \cdot {0.9}^2}{4} \right ) = \frac{{0.9}^2 \cdot {d_1}^2}{4} + g \cdot (h - 1)\).

Теперь, если мы преобразуем уравнение и выразим \(h\), то получаем:

\(h = \frac{{d_1}^2}{8 \cdot g} \cdot \frac{P_1 - P_2 - \frac{P_2 \cdot {0.9}^2}{4}}{1 - \frac{{0.9}^2}{2}} + 1\).

Таким образом, высота воды в баке \(h\) равна указанному выражению. Это и есть ответ на задачу. Не забывайте, что для окончательного вычисления вам нужно знать значения давления \(P_1\) и \(P_2\).