Чему равно отношение площади круга, вписанного в правильный многоугольник, к площади круга, описанного вокруг этого

Отношение площади круга, вписанного в правильный многоугольник, к площади круга, описанного вокруг этого многоугольника, можно найти с помощью применения некоторых геометрических свойств и формул.

Пусть $A_{вписанный}$ обозначает площадь круга, вписанного в правильный многоугольник, а $A_{описанный}$ обозначает площадь круга, описанного вокруг этого многоугольника.

Для начала, заметим, что внешний радиус круга, описанного вокруг правильного многоугольника, равен длине любой стороны многоугольника (потому что это расстояние от центра круга до любой вершины многоугольника). Обозначим эту величину как $R$. Тогда длина стороны правильного многоугольника равна $2R$.

Также заметим, что вписанный в многоугольник круг касается каждой стороны многоугольника. Таким образом, расстояние от центра вписанного круга до любой стороны многоугольника равно радиусу вписанного круга. Обозначим радиус вписанного круга как $r$.

Найдем площади обоих кругов с помощью формулы для площади круга. Площадь круга равна $\pi r^2$. Таким образом, площадь описанного круга равна $\pi R^2$, а площадь вписанного круга равна $\pi r^2$.

Отношение этих площадей можно выразить как $\frac{\pi r^2}{\pi R^2}$.

Чтобы найти это отношение, заметим, что радиус вписанного круга связан с радиусом описанного круга следующим образом: $r=\frac{R}{\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)}$, где $n$ - количество сторон правильного многоугольника.

Подставляя это значение радиуса в отношение площадей, получаем:

$$\frac{\pi {\left(\frac{R}{\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)}\right)}^2}{\pi R^2}$$

Упрощая это выражение, получаем:

$$\frac{{\cos }^2\left(\frac{\pi }{n}\right)}{1}$$

Таким образом, отношение площади круга, вписанного в правильный многоугольник, к площади круга, описанного вокруг этого многоугольника, равно ${\cos }^2\left(\frac{\pi }{n}\right)$.

Это выражение будет зависеть от количества сторон $n$ многоугольника. Чем больше сторон у правильного многоугольника, тем ближе отношение площадей будет к 1.

В итоге, чтобы найти точное численное значение отношения площадей, нужно знать количество сторон правильного многоугольника. При большом количестве сторон ($n\to \mathrm{\infty }$), это отношение будет стремиться к 1.