Чему равна высота правильной треугольной пирамиды, если ее сторона основания составляет 600 дм и боковое ребро образует

Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о треугольниках и тригонометрии. Для начала, определим, что такое правильная треугольная пирамида. В правильной треугольной пирамиде все грани являются равнобедренными треугольниками, а вершина пирамиды находится над центром основания.

Нам дано, что сторона основания составляет 600 дм, что равно 6000 см (так как 1 дециметр равен 10 сантиметрам). Также, нам дано, что боковое ребро образует угол 30° с плоскостью основания.

Для нахождения высоты пирамиды, мы можем использовать теорему косинусов. Вспомним, что для треугольника с сторонами a, b и c и углом C против стороны c, есть формула:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]

В нашей задаче, b - это боковое ребро, a - сторона основания (6000 см), и C - угол 30°.

Мы знаем значение угла C в радианах: \(\frac{\pi}{6}\).

Теперь, подставим значения в формулу:

\[c^2 = (6000)^2 + b^2 - 2 \cdot 6000 \cdot b \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\]

\[c^2 = 36000000 + b^2 - 12000b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Мы также знаем, что сторона основания треугольной пирамиды является равнобедренным треугольником. Поэтому, все стороны основания также равны 6000 см.

Теперь, рассмотрим треугольник, образованный основанием пирамиды и боковым ребром. Этот треугольник также равнобедренный с двумя равными сторонами длиной 6000 см и углом 30°.

Используя теорему синусов для этого треугольника, мы можем написать:

\[\frac{\frac{b}{2}}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{6000}{\sin(150°)}\]

\[\frac{b}{2} = \frac{6000}{\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)}\]

Так как \(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\), получаем:

\[\frac{b}{2} = \frac{6000}{\frac{1}{2}}\]

\[b = 12000\]

Теперь, мы можем подставить найденное значение b обратно в первую формулу:

\[c^2 = 36000000 + (12000)^2 - 12000 \cdot 12000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[c^2 = 36000000 + 144000000 - 72000000\sqrt{3}\]

\[c^2 = 180000000 - 72000000\sqrt{3}\]

\[c = \sqrt{180000000 - 72000000\sqrt{3}}\]

Получается, что высота пирамиды равна \(\sqrt{180000000 - 72000000\sqrt{3}}\) сантиметров. Это, конечно, очень точный ответ, но мы также можем вычислить его приближенное значение, подставив числовые значения в калькулятор:

\[c \approx 10492.3\]

Высота пирамиды составляет приблизительно 10492.3 сантиметров.