Чему равна температура точки соединения стержней после установления, если два резервуара с разными температурами

Когда два резервуара с разными температурами соединены между собой теплопроводящими стержнями, тепло начинает переходить из более горячего стержня в менее горячий стержень. В итоге, после установления, температура точки соединения стержней будет равна среднему значению температур двух резервуаров.

Для более детального пояснения, рассмотрим следующий пример: пусть у нас есть два резервуара, один с температурой \(T_1\) и другой с температурой \(T_2\). Пусть также у нас есть два теплопроводящих стержня с теплопроводностью \(k\) и длиной \(L\), которые соединяют эти резервуары.

Пусть температура в точке соединения стержней будет обозначена как \(T_c\). В начале процесса соединения, тепло будет передаваться из стержня с более высокой температурой в стержень с более низкой температурой. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока разница в температуре между стержнями не станет незначительной.

Используя закон Фурье, мы можем определить скорость теплопередачи \(Q\) через стержни:

\[Q = -kA \frac{{dT}}{{dx}}\]

где \(k\) - теплопроводность стержня, \(A\) - площадь сечения стержня, \(dT\) - изменение температуры и \(dx\) - изменение длины стержня.

Поскольку оба стержня имеют одинаковые свойства (теплопроводность, площадь сечения), мы можем записать:

\[Q = -kA \frac{{dT_c}}{{dx_1}} = kA \frac{{dT_c}}{{dx_2}}\]

Здесь \(x_1\) и \(x_2\) - это координаты точки соединения стержней на первом и втором стержнях соответственно.

Поскольку теплопередача через стержни равномерна, можно сделать предположение, что температурные градиенты в стержнях постоянны:

\[\frac{{dT_c}}{{dx_1}} = \frac{{T_1 - T_c}}{{L_1}}\]
\[\frac{{dT_c}}{{dx_2}} = \frac{{T_c - T_2}}{{L_2}}\]

где \(L_1\) и \(L_2\) - это длины первого и второго стержней соответственно.

Подставляя эти выражения в уравнение теплопередачи, получаем:

\[-kA \frac{{T_1 - T_c}}{{L_1}} = kA \frac{{T_c - T_2}}{{L_2}}\]

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:

\[-\frac{{T_1 - T_c}}{{L_1}} = \frac{{T_c - T_2}}{{L_2}}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[T_2L_1 - T_cL_1 = T_cL_2 - T_1L_2\]

\[T_1L_2 + T_cL_1 = T_cL_2 + T_2L_1\]

\[T_1L_2 - T_2L_1 = T_c(L_2 - L_1)\]

\[T_c = \frac{{T_1L_2 - T_2L_1}}{{L_2 - L_1}}\]

Таким образом, чтобы найти температуру точки соединения стержней после установления, необходимо вычислить \(T_c\) используя данную формулу. Подставьте значения длин стержней и температур двух резервуаров, и вы получите искомую температуру.