Чему равна площадь кругового сектора, если длина дуги, ограничивающей его, равна 10п, угол сектора составляет 240°

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для площади кругового сектора. Площадь кругового сектора можно найти, умножив долю площади круга на соответствующую центральный угол. Поэтому нам нужно сначала вычислить долю площади круга, а затем умножить ее на центральный угол.

Для начала найдем площадь всего круга. Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь круга, а \(r\) - радиус круга.

В данной задаче радиус круга явно не указан, поэтому нам нужно воспользоваться формулой для нахождения его. Длина дуги, ограничивающей круговой сектор, равна 10п. Формула для вычисления длины дуги принимает вид \(L = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360}\), где \(L\) - длина дуги, \(r\) - радиус круга, а \(\alpha\) - центральный угол сектора. Подставим известные значения и найдем радиус:

\[10\pi = 2\pi r \cdot \frac{240}{360}\]

Упростим уравнение:

\[10 = r \cdot \frac{240}{360}\]

\[10 = r \cdot \frac{2}{3}\]

Теперь найдем значение радиуса, разделив обе части уравнения на \(\frac{2}{3}\):

\[r = \frac{10}{\frac{2}{3}}\]

\[r = \frac{10 \cdot 3}{2}\]

\[r = 15\]

Теперь, когда у нас есть значение радиуса (\(r = 15\)), мы можем найти площадь кругового сектора, умножив долю площади круга на центральный угол. Доля площади круга находится с помощью формулы \(\frac{\alpha}{360}\), где \(\alpha\) - центральный угол сектора.

В данном случае, центральный угол сектора составляет 240°. Подставим значения и найдем площадь кругового сектора:

\[S_{\text{сектора}} = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360}\]

\[S_{\text{сектора}} = \pi \cdot 15^2 \cdot \frac{240}{360}\]

\[S_{\text{сектора}} = \pi \cdot 225 \cdot \frac{240}{360}\]

Упростим выражение:

\[S_{\text{сектора}} = \pi \cdot \frac{225 \cdot 240}{360}\]

\[S_{\text{сектора}} = \pi \cdot \frac{54000}{360}\]

\[S_{\text{сектора}} = \pi \cdot 150\]

\[S_{\text{сектора}} = 150\pi\]

Таким образом, площадь кругового сектора равна \(150\pi\).