Чему равна длина медианы треугольника EFK, если известно, что FE = 2, FK = 3√2, и ∠EFK = 135°?

Чтобы найти длину медианы треугольника EFK, мы можем воспользоваться теоремой медианы, которая утверждает, что медиана треугольника делит другую сторону пополам.

В этой задаче медиана проведена из вершины E, поэтому она делит сторону FK пополам.

Из условия задачи мы знаем, что FK = 3√2. Исходя из теоремы медианы, мы можем сказать, что FE = FK/2, поскольку медиана делит сторону FK пополам.

Таким образом, мы можем рассчитать длину FE следующим образом:

FE = FK/2 = 3√2/2 = \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Теперь нам нужно найти длину медианы EK. Для этого мы воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с углами.

Из условия задачи, у нас известно, что угол EFK равен 135 градусам. Мы также знаем длины сторон FE и FK.

Теорема косинусов гласит:

\[EK^2 = FE^2 + FK^2 - 2 \cdot FE \cdot FK \cdot \cos(\angle EFK)\]

Подставляя известные значения, мы получаем:

\[EK^2 = \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (3\sqrt{2}) \cdot \cos(135^\circ)\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[EK^2 = \frac{9}{2} + 18 -3 \cdot 3 \cdot \cos(135^\circ)\]

Так как \(\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), мы можем продолжить расчет:

\[EK^2 = \frac{9}{2} + 18 - 9 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{9}{2} + 18 + \frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{27 + 9\sqrt{2}}{2}\]

И, наконец, чтобы найти длину медианы EK, мы извлекаем квадратный корень из полученного значения:

\[EK = \sqrt{\frac{27 + 9\sqrt{2}}{2}}\]

Таким образом, длина медианы треугольника EFK равна \(\sqrt{\frac{27 + 9\sqrt{2}}{2}}\).