Чему равна диагональ AC в прямоугольнике ABCD, если угол BOA = 60, и BK перпендикулярна

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Воспользуемся описанием фигуры и начнем с построения.

У нас есть прямоугольник ABCD с диагональю AC и точкой O, которая является пересечением диагоналей. Дано, что угол BOA равен 60 градусам, и BK является перпендикулярным к диагонали AC.

Построим треугольник BOK и найдем длины его сторон. Возьмем BO и OK как известные стороны.

Далее, вспомним теорему косинусов, которая гласит, что для треугольника с сторонами a, b и c и углом A, косинус угла A может быть выражен следующим образом:

\[\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]

В нашем случае, у нас есть стороны BO, BK и OK, а также угол BOA. Мы хотим найти сторону AC, поэтому нам нужно выразить ее через BO, BK и OK.

Так как угол BOA равен 60 градусам, у нас есть:

\[\cos(60) = \frac{BK^2 + AC^2 - BO^2}{2 \cdot BK \cdot AC}\]

Решим это уравнение относительно AC:

\[\frac{1}{2} = \frac{BK^2 + AC^2 - BO^2}{2 \cdot BK \cdot AC}\]

Умножим обе части уравнения на 2BKAC:

\[BKAC = BK^2 + AC^2 - BO^2\]

Так как BK перпендикулярна AC, BK и AC будут выражаться через высоту прямоугольника. Обозначим высоту прямоугольника как h.

Тогда BK будет равно h и AC будет также равно h:

\[h \cdot h = BK^2 + h^2 - BO^2\]

Распишем BK^2 и BO^2:

\[h \cdot h = h^2 + h^2 - BO^2\]

\[h \cdot h = 2h^2 - BO^2\]

Получаем следующее выражение:

\[2h^2 - BO^2 = h^2\]

\[h^2 = BO^2\]

Дальше, возведем обе части уравнения в квадрат:

\[h = BO\]

Таким образом, длина диагонали AC равна длине стороны прямоугольника, а именно - BO.

Ответ: Длина диагонали AC в прямоугольнике ABCD равна длине стороны BO.