• Байжан босағасына баруға келісім беретіндей, Жамал тағдырға неше тапсыруға болады? • Жамал боранда қашып шыққанынан

Для решения первой задачи, нам нужно определить, сколько вариантов выбора есть у Жамал при переходе к Байжану.

Пусть у Байжана есть \(n\) возможных дорог, по которым можно пойти. Примем, что Жамал всегда делает правильный выбор и выбирает случайную дорогу каждый раз. Также предположим, что каждая дорога одинаково вероятна.

Таким образом, при первом выборе у Жамала есть \(n\) вариантов. После этого, независимо от того, какую дорогу он выберет, у Байжана останется \(n-1\) возможная дорога для следующего шага Жамала.

Поэтому общее число вариантов, когда Жамал приходит к Байжану, равно произведению чисел от \(n\) до 1:

\[
n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = n!
\]

Таким образом, Жамал может сделать \(n!\) различных выборов при переходе к Байжану.

Для решения второй задачи, нам нужно объяснить, как автор добрался до Жамала после того, как Байжан закрыл дверь из-за дождя.

Предположим, что автор ищет Жамала в \(k\) различных местах, которые мы обозначим как \(A_1, A_2, \ldots, A_k\). Пусть \(p_i\) обозначает вероятность того, что Жамал находится в месте \(A_i\).

Поскольку Жамал всегда выбирает место случайным образом, вероятность того, что Жамал будет в каком-либо конкретном месте, равна \(1/k\).

Теперь предположим, что после того, как автор проверил место \(A_1\) и Жамал там не оказался, автор отправляется в следующее место для проверки и так далее.

Таким образом, вероятность того, что автор найдет Жамала на \(i\)-м месте, составляет:

\[
p(\text{находит на } A_i) = p(\text{не находит на предыдущих местах}) \times p(\text{находится на } A_i) = \left(1 - \frac{1}{k}\right)^{i-1} \times \frac{1}{k} = \frac{1}{k} \times \left(1 - \frac{1}{k}\right)^{i-1}
\]

Чтобы найти ожидаемое число проверок, мы можем посчитать сумму вероятностей для всех возможных мест:

\[
\sum_{i=1}^{k} \frac{1}{k} \times \left(1 - \frac{1}{k}\right)^{i-1}
\]

Эту сумму можно упростить, но это требует знаний вероятностей и рядов. Можно их вычислить, если хотите.