• Байжан босағасына баруға келісім беретіндей, Жамал тағдырға неше тапсыруға болады? • Жамал боранда қашып шыққанынан

Для решения первой задачи, нам нужно определить, сколько вариантов выбора есть у Жамал при переходе к Байжану.

Пусть у Байжана есть $n$ возможных дорог, по которым можно пойти. Примем, что Жамал всегда делает правильный выбор и выбирает случайную дорогу каждый раз. Также предположим, что каждая дорога одинаково вероятна.

Таким образом, при первом выборе у Жамала есть $n$ вариантов. После этого, независимо от того, какую дорогу он выберет, у Байжана останется $n-1$ возможная дорога для следующего шага Жамала.

Поэтому общее число вариантов, когда Жамал приходит к Байжану, равно произведению чисел от $n$ до 1:

$$n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot 2\cdot 1=n!$$

Таким образом, Жамал может сделать $n!$ различных выборов при переходе к Байжану.

Для решения второй задачи, нам нужно объяснить, как автор добрался до Жамала после того, как Байжан закрыл дверь из-за дождя.

Предположим, что автор ищет Жамала в $k$ различных местах, которые мы обозначим как $A_1,A_2,\dots ,A_k$. Пусть $p_i$ обозначает вероятность того, что Жамал находится в месте $A_i$.

Поскольку Жамал всегда выбирает место случайным образом, вероятность того, что Жамал будет в каком-либо конкретном месте, равна $1/k$.

Теперь предположим, что после того, как автор проверил место $A_1$ и Жамал там не оказался, автор отправляется в следующее место для проверки и так далее.

Таким образом, вероятность того, что автор найдет Жамала на $i$-м месте, составляет:

$$p(\text{находит на }{A}_i)=p(\text{не находит на предыдущих местах})\times p(\text{находится на }{A}_i)={(1-\frac{1}{k})}^{i-1}\times \frac{1}{k}=\frac{1}{k}\times {(1-\frac{1}{k})}^{i-1}$$

Чтобы найти ожидаемое число проверок, мы можем посчитать сумму вероятностей для всех возможных мест:

$$\sum _{i=1}^k\frac{1}{k}\times {(1-\frac{1}{k})}^{i-1}$$

Эту сумму можно упростить, но это требует знаний вероятностей и рядов. Можно их вычислить, если хотите.