B Задача 4. [ ) М и N - середины одинаковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС соответственно. Точка

Дана равнобедренный треугольник \(ABC\) с серединами сторон \(M\) и \(N\), причем \(M\) и \(N\) - середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. На продолжении отрезка \(MN\) выбрана точка \(P\), а на отрезке \(NX\) выбрана точка \(Q\) таким образом, что \(MN = QX\). Требуется доказать, что \(AY = BX\).

Для начала, докажем, что треугольники \(ABM\) и \(CQN\) равны.
Из условия задачи, мы знаем, что \(M\) и \(N\) - середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. Так как \(AB = BC\) (три стороны равнобедренного треугольника равны), то \(AM = MC\). А также, так как \(M\) и \(N\) - середины сторон треугольника, то \(AM = MB\) и \(CN = NB\). Получаем, что \(AM = MB = MC = CN = NB\).
Таким образом, треугольники \(ABM\) и \(CQN\) являются равнобедренными и равными, так как у них равны соответствующие стороны.

Теперь посмотрим на треугольники \(AYP\) и \(NXB\).
Из равенства \(MN = QX\) следует, что отрезки \(XY\) и \(PN\) равны. Также, из равенства \(AM = MB\) следует, что \(AY = YP\).
Теперь рассмотрим треугольники \(AYP\) и \(MXN\). У них равны по две стороны: \(AY = MX\) и \(YP = NX\), а третья сторона \(AP\) (она же \(PN\)) общая для них. Таким образом, треугольники \(AYP\) и \(MXN\) равны по стороне-стороне-стороне.

Теперь рассмотрим треугольники \(NXB\) и \(CQN\).
У них также равны две стороны: \(BX = CN\) и \(NX = CQ\), а третья сторона \(NX\) (она же \(QP\)) общая для них. Таким образом, треугольники \(NXB\) и \(CQN\) также равны по стороне-стороне-стороне.

Таким образом, из равенства треугольников \(AYP\) и \(MXN\), а также равенства треугольников \(NXB\) и \(CQN\) следует, что треугольники \(AYP\) и \(NXB\) также равны по стороне-стороне-стороне.
Следовательно, \(AY = BX\). Доказательство завершено.