а) Сделайте доказательство того, что точка М является серединой ребра СС1. б) Найдите расстояние от точки

a) Чтобы доказать, что точка М является серединой ребра СС1, мы можем использовать свойства средней линии треугольника.

Допустим, что координаты точки C в пространстве заданы как (x1, y1, z1), а координаты точки C1 равны (x2, y2, z2). Предположим, что точка М находится посередине между С и С1 и имеет координаты (x, y, z).

Теперь, чтобы доказать, что точка М является серединой ребра СС1, необходимо показать, что среднее значение координат точки М равно полусумме соответствующих координат точек С и С1.

x = (x1 + x2) / 2
y = (y1 + y2) / 2
z = (z1 + z2) / 2

Обратите внимание, что эти формулы просто находят среднюю точку между С и С1, где каждая координата точки М является средним значением координат С и С1.

Таким образом, мы доказали, что точка М является серединой ребра СС1.

b) Чтобы найти расстояние от точки С до плоскости АПQ с использованием координатного метода, мы можем воспользоваться формулой для расстояния между точкой и плоскостью.

Пусть A(x1, y1, z1), P(x2, y2, z2) и Q(x3, y3, z3) - это координаты точек A, P и Q соответственно, а C(x, y, z) - координаты точки C.

Для нахождения расстояния d от точки C до плоскости АПQ воспользуемся формулой:

\[d = \frac{{|\vec{AP} \cdot \vec{AQ}|}}{{|\vec{PQ}|}}\]

Где \(\vec{AP}\) и \(\vec{AQ}\) - векторы, соединяющие точки A с P и Q соответственно, а \(\vec{PQ}\) - вектор, соединяющий точки P и Q.

Для вычисления векторов \(\vec{AP}\), \(\vec{AQ}\) и \(\vec{PQ}\) используются следующие формулы:

\(\vec{AP} = \begin{bmatrix}x2 - x1 \\ y2 - y1 \\ z2 - z1\end{bmatrix}\)
\(\vec{AQ} = \begin{bmatrix}x3 - x1 \\ y3 - y1 \\ z3 - z1\end{bmatrix}\)
\(\vec{PQ} = \begin{bmatrix}x3 - x2 \\ y3 - y2 \\ z3 - z2\end{bmatrix}\)

После вычисления векторов, мы можем использовать их значения, чтобы найти расстояние от точки C до плоскости АПQ, подставив значения в формулу и вычислив результат.

Например, если у нас есть координаты:
A(1, 2, 3), P(4, 5, 6), Q(-1, 0, 2), C(2, 3, 4)

Мы можем вычислить векторы:
\(\vec{AP} = \begin{bmatrix}4 - 1 \\ 5 - 2 \\ 6 - 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 \\ 3 \\ 3\end{bmatrix}\)
\(\vec{AQ} = \begin{bmatrix}-1 - 1 \\ 0 - 2 \\ 2 - 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 \\ -2 \\ -1\end{bmatrix}\)
\(\vec{PQ} = \begin{bmatrix}-1 - 4 \\ 0 - 5 \\ 2 - 6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-5 \\ -5 \\ -4\end{bmatrix}\)

Подставляя значения в формулу, получим:
\[d = \frac{{|\begin{bmatrix}3 \\ 3 \\ 3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-2 \\ -2 \\ -1\end{bmatrix}|}}{{|\begin{bmatrix}-5 \\ -5 \\ -4\end{bmatrix}|}}\]

\[\begin{bmatrix}3 \\ 3 \\ 3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-2 \\ -2 \\ -1\end{bmatrix} = 3*(-2) + 3*(-2) + 3*(-1) = -6 -6 -3 = -15\]

\[|\begin{bmatrix}-5 \\ -5 \\ -4\end{bmatrix}| = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 25 + 16} = \sqrt{66} \approx 8.1240\]

Таким образом, расстояние от точки C до плоскости АПQ составляет около 8.1240 (округлено до четырех знаков после запятой).