А) Покажите, что точка пересечения прямой KL с плоскостью ABCD одинаково удалена от вершин B и C. Б) Найдите котангенс

Чтобы решить задачу, нам понадобится немного геометрии и алгебры.

А) Для того чтобы показать, что точка пересечения прямой KL с плоскостью ABCD одинаково удалена от вершин B и C, нам нужно доказать, что эта точка лежит на биссектрисе угла BCD.

Предположим, что точка пересечения прямой KL с плоскостью ABCD обозначена как P. Чтобы доказать, что точка P лежит на биссектрисе угла BCD, мы можем воспользоваться свойством биссектрисы, которое гласит, что биссектриса угла делит этот угол на два равных угла.

Рассмотрим треугольник BCD. Он образован вершинами B, C и точкой пересечения прямой KL с плоскостью ABCD (обозначенной как P). Рассмотрим угол BCP и угол PCМ. Чтобы доказать, что точка P лежит на биссектрисе угла BCD, нам нужно показать, что угол BCP равен углу PCМ.

Угол BCP равен углу ПМС (поскольку углы, смежные с равными углами, также равны). Также известно, что угол BCD равен углу ПСМ (поскольку это вертикальные углы). Поэтому, если мы докажем, что угол ПСМ равен углу PCМ, мы автоматически докажем, что точка P лежит на биссектрисе угла BCD.

Теперь построим луч МD1 перпендикулярно к плоскости ABCD. Из задачи известно, что AB=2AA1, где M - середина ребра BC, A1 - середина ребра CD. Таким образом, AB и AA1 делятся пополам в точке M.

Теперь рассмотрим треугольник BMD1. В нем вершина B соединена с точкой пересечения прямой KL с плоскостью ABCD (обозначена как P) и лучом MD1. Если мы найдем котангенс угла MPD1, то сможем найти котангенс угла между прямыми MD1 и KL.

По теореме косинусов в треугольнике BMD1, коэффициент котангенса угла MPD1 можно выразить через известные стороны и углы треугольника:

\[\cot(\angle MPD1) = \frac{BM^2 + BP^2 - MP^2}{2 \cdot BM \cdot BP}\]

Так как в треугольнике BMD1 луч МD1 перпендикулярен плоскости ABCD, то угол MPD1 является прямым углом, и \(\angle MPD1 = 90^\circ\). Это позволяет упростить выражение:

\[\cot(90^\circ) = \frac{BM^2 + BP^2 - MP^2}{2 \cdot BM \cdot BP}\]

Так как \(\cot(90^\circ) = 0\), получаем:

\[0 = \frac{BM^2 + BP^2 - MP^2}{2 \cdot BM \cdot BP}\]

Мы также знаем, что середина отрезка делит его на две равные части. Поэтому могут быть записаны следующие равенства:

\[BM = \frac{1}{2} BC\]
\[BP = \frac{1}{2} BA\]

Теперь мы можем заменить значения BM и BP в выражении:

\[0 = \frac{\left(\frac{1}{2} BC\right)^2 + \left(\frac{1}{2} BA\right)^2 - MP^2}{2 \cdot \left(\frac{1}{2} BC\right) \cdot \left(\frac{1}{2} BA\right)}\]

Далее можно провести упрощение:

\[0 = \frac{\frac{1}{4} BC^2 + \frac{1}{4} BA^2 - MP^2}{BC \cdot BA}\]
\[0 = \frac{BC^2 + BA^2 - 4MP^2}{4BC \cdot BA}\]
\[0 = \frac{BC^2 + BA^2}{4BC \cdot BA} - \frac{MP^2}{4BC \cdot BA}\]

Теперь мы можем переписать уравнение в виде:

\[\frac{BC^2 + BA^2}{4BC \cdot BA} = \frac{MP^2}{4BC \cdot BA}\]

Упрощая уравнение, получаем:

\[BC^2 + BA^2 = MP^2\]

Это означает, что сумма квадратов длин сторон BC и BA равна квадрату длины отрезка MP. Таким образом, точка пересечения прямой KL с плоскостью ABCD одинаково удалена от вершин B и C, что и требовалось доказать.

Б) Теперь найдем котангенс угла между прямыми MD1 и KL, используя полученную информацию о треугольнике BMD1.

Мы можем использовать ранее полученное выражение для котангенса угла MPD1:

\[0 = \frac{BC^2 + BA^2 - MP^2}{4BC \cdot BA}\]

Так как угол MPD1 является прямым углом (\(\angle MPD1 = 90^\circ\)), то \(\cos(\angle MPD1)=0\) и \(\sin(\angle MPD1)=1\). Можем воспользоваться этими значениями для того, чтобы упростить уравнение:

\[\cot(\angle MPD1) = \frac{\cos(\angle MPD1)}{\sin(\angle MPD1)} = \frac{0}{1} = 0\]

Таким образом, котангенс угла между прямыми MD1 и KL равен 0.