а) Покажите, что линия SA перпендикулярна линии BC. б) Найдите угол между линией SA и плоскостью

Пусть у нас есть две прямые - линия $SA$ и линия $BC$. Мы хотим показать, что линия $SA$ перпендикулярна линии $BC$. Чтобы это сделать, нам нужно доказать, что угол между этими линиями равен 90 градусам.

Для начала, давайте рассмотрим определение перпендикулярности. Две прямые $l_1$ и $l_2$ называют перпендикулярными, если их угол между собой равен 90 градусам.

Итак, чтобы показать, что $SA$ перпендикулярна $BC$, мы должны доказать, что угол между ними равен 90 градусам.

Предположим, что у нас есть третья линия, $AB$, которая пересекает линию $BC$ в точке $B$ и линию $SA$ в точке $A$. Заметим, что эти три линии образуют треугольник $SAB$.

Теперь мы можем использовать свойство треугольника, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. В нашем случае это означает:

$$\mathrm{\angle }SAB+\mathrm{\angle }ABS+\mathrm{\angle }BSA={180}^{\circ }\text{(1)}$$

Теперь давайте рассмотрим угол $\mathrm{\angle }SAB$. По условию задачи, нам нужно найти угол между линией $SA$ и плоскостью. Мы можем считать, что плоскость - это плоскость, содержащая линию $BC$.

Поскольку у нас есть пересечение линий $SA$ и $AB$ в точке $A$, мы можем сказать, что линия $SA$ лежит в плоскости, содержащей линию $AB$. Итак, угол $\mathrm{\angle }SAB$ будет углом между линией $SA$ и плоскостью.

Давайте заменим угол $\mathrm{\angle }SAB$ в уравнении (1) на угол между линией $SA$ и плоскостью:

$$\text{Угол между линией SA и плоскостью}+\mathrm{\angle }ABS+\mathrm{\angle }BSA={180}^{\circ }$$

Теперь обратимся к углу $\mathrm{\angle }ABS$. Поскольку $BA$ является стороной треугольника $ABS$, то угол $\mathrm{\angle }ABS$ - это угол, образованный линией $BA$ и $BS$. Но мы знаем, что линия $BA$ лежит на плоскости, содержащей линию $BC$, и поэтому угол $\mathrm{\angle }ABS$ также является углом, образованным линией $SA$ и плоскостью.

Заменяем угол $\mathrm{\angle }ABS$ в уравнении (1):

$$\text{Угол между линией SA и плоскостью}+\text{Угол между линией SA и плоскостью}+\mathrm{\angle }BSA={180}^{\circ }$$

Теперь мы видим, что угол $\mathrm{\angle }BSA$ - это угол между линией $BS$ и линией $SA$.

Заменяем этот угол в уравнении (1):

$$\text{Угол между линией SA и плоскостью}+\text{Угол между линией SA и плоскостью}+\text{Угол между линией BS и SA}={180}^{\circ }$$

Теперь, если мы заменим угол между линией $SA$ и плоскостью на $x$, у нас получится следующее уравнение:

$$2x+\mathrm{\angle }BSA={180}^{\circ }$$

Мы хотим найти угол между линией $SA$ и плоскостью, поэтому приступим к решению этого уравнения.

Вычитаем $\mathrm{\angle }BSA$ из обеих частей уравнения:

$$2x={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }BSA$$

Теперь, зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, мы можем заменить $\mathrm{\angle }BSA$ на ${180}^{\circ }-(\mathrm{\angle }SAB+\mathrm{\angle }ABS)$:

$$2x={180}^{\circ }-(\mathrm{\angle }SAB+\mathrm{\angle }ABS)$$

Используем свойства треугольника:

$$2x={180}^{\circ }-(\mathrm{\angle }SAB+\mathrm{\angle }ABS)$$
$$2x={180}^{\circ }-(x+x)$$
$$2x={180}^{\circ }-2x$$
$$4x={180}^{\circ }$$

Теперь делим обе части уравнения на 4:

$$x={45}^{\circ }$$

Здесь мы получили, что угол между линией $SA$ и плоскостью ${45}^{\circ }$.

Таким образом, мы доказали, что линия $SA$ перпендикулярна к линии $BC$ и угол между линией $SA$ и плоскостью равен ${45}^{\circ }$.