a) Найдите точку касания прямой y=2x+b и графика функции y=x^2+4x+5. b) Постройте на координатной плоскости график

a) Чтобы найти точку касания прямой y=2x+b и графика функции y=x^2+4x+5, нужно найти значения x и y, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Для начала, уравняем выражения:

2x + b = x^2 + 4x + 5

Перенесем все члены уравнения влево:

x^2 + 4x + 5 - 2x - b = 0

Упростим:

x^2 + 2x + 5 - b = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы найти точку касания, надо найти значения x, для которых это квадратное уравнение имеет только один корень (дискриминант равен 0).

Воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 1, b = 2, c = 5 - b.

Получаем:

D = 2^2 - 4(1)(5 - b)
D = 4 - 20 + 4b
D = 4b - 16

Теперь приравняем дискриминант к нулю:

4b - 16 = 0

4b = 16

b = 16/4

b = 4

Теперь, когда мы найдем значение b, можем найти соответствующие значения x и y:

Подставим полученное значение b в первое уравнение:

y = 2x + 4

Подставим значения уравнения во второе уравнение:

y = x^2 + 4x + 5

Получаем систему уравнений:

2x + 4 = x^2 + 4x + 5

Перенесем все члены уравнения влево:

x^2 + 2x + 1 = 0

Следовательно, у нас есть квадратное уравнение x^2 + 2x + 1 = 0.

Решаем это уравнение:

(x + 1)^2 = 0

(x + 1)(x + 1) = 0

x + 1 = 0

x = -1

Теперь, найдем значение y, подставив x = -1 в одно из уравнений:

y = -1^2 + 4(-1) + 5

y = 1 - 4 + 5

y = 2

Таким образом, точка касания прямой y=2x+4 и графика функции y=x^2+4x+5 равна (-1, 2).

b) Чтобы построить график функции y=x^2+4x+5 и ее касательной, мы начинаем с построения самого графика функции.

Для этого, выберем несколько значений x и найдем соответствующие значения y в уравнении y=x^2+4x+5:

x = -3; y = (-3)^2 + 4(-3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2
x = -2; y = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1
x = -1; y = (-1)^2 + 4(-1) + 5 = 1 - 4 + 5 = 2
x = 0; y = (0)^2 + 4(0) + 5 = 0 + 0 + 5 = 5
x = 1; y = (1)^2 + 4(1) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10
x = 2; y = (2)^2 + 4(2) + 5 = 4 + 8 + 5 = 17

Теперь, на координатной плоскости, построим точки с данными значениями (x, y): (-2, 1), (-1, 2), (0, 5), (1, 10), (2, 17).

Используя эти точки, нарисуем график функции y=x^2+4x+5, соединяя точки гладкой кривой.

Для построения касательной к графику функции в заданной точке, нам нужно найти значение производной функции в этой точке. Возьмем точку (-1, 2) в нашем случае.

Находим производную функции y=x^2+4x+5:

y" = 2x + 4

Подставляем x = -1:

y" = 2(-1) + 4 = 2 - 4 = -2

Теперь, получив значение производной, можем найти уравнение касательной, используя формулу:

y - y_1 = m(x - x_1)

Где x_1 и y_1 - координаты заданной точки, m - значение производной в этой точке.

Подставим значения:

y - 2 = -2(x + 1)

Раскроем скобки:

y - 2 = -2x - 2

Перенесем все члены влево:

2x + y = 4

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=x^2+4x+5 в точке (-1, 2) будет 2x + y = 4. Построим эту прямую и соединим ее с графиком функции.

Вот график функции y=x^2+4x+5 (гладкая кривая) и ее касательная (прямая) в точке (-1, 2).

[GRAPH]

Надеюсь, эта информация была полезной! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!