а) Найдите скалярное произведение векторов ad1 и cb1, если ребро куба abcda1b1c1d1 равно а. б) Найдите скалярное

Для начала рассмотрим скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение двух векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) определяется как произведение модулей этих векторов и косинуса угла между ними:

\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos{\theta}
\]

где \(|\vec{u}|\) и \(|\vec{v}|\) - длины векторов, \(\theta\) - угол между ними.

Теперь перейдем к решению задачи.

а) Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{ad_1}\) и \(\vec{cb_1}\), если ребро куба \(abcda_1b_1c_1d_1\) равно \(a\).

Чтобы найти скалярное произведение векторов \(\vec{ad_1}\) и \(\vec{cb_1}\), нам нужно найти модули этих векторов и косинус угла между ними.

Для начала найдем модули векторов. Модуль вектора \(|\vec{ad_1}|\) равен длине ребра куба, которая равна \(a\). Модуль вектора \(|\vec{cb_1}|\) также равен длине ребра куба, которая также равна \(a\).

Теперь нужно найти косинус угла между векторами. Угол между векторами \(\vec{ad_1}\) и \(\vec{cb_1}\) равен углу между соответствующими ребрами куба, который составляет \(90^\circ\).

Таким образом, мы нашли все необходимые значения и можем найти скалярное произведение двух векторов:

\[
\vec{ad_1} \cdot \vec{cb_1} = |\vec{ad_1}| \cdot |\vec{cb_1}| \cdot \cos{\theta} = a \cdot a \cdot \cos{90^\circ} = a \cdot a \cdot 0 = \boxed{0}
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{ad_1}\) и \(\vec{cb_1}\) равно \(0\).

б) Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{ab}\), если ребро куба \(abcda_1b_1c_1d_1\) равно \(a\).

Для нахождения скалярного произведения векторов \(\vec{ab}\) нам также нужно найти модули этих векторов и косинус угла между ними.

Модуль вектора \(|\vec{ab}|\) равен длине ребра куба, которая равна \(a\).

Теперь нужно найти угол между векторами \(\vec{ab}\). Угол между вектором \(\vec{ab}\) и ребром куба \(abcda_1b_1c_1d_1\) равен \(45^\circ\) (поскольку это диагональ грани куба).

Таким образом, мы нашли все необходимые значения и можем найти скалярное произведение векторов:

\[
\vec{ab} \cdot \vec{ab} = |\vec{ab}| \cdot |\vec{ab}| \cdot \cos{\theta} = a \cdot a \cdot \cos{45^\circ} = a \cdot a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \boxed{\frac{a^2}{\sqrt{2}}}
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{ab}\) равно \(\frac{a^2}{\sqrt{2}}\).