а) Может ли сумма чисел, записанных на доске и состоящих только из цифр 1 и 6, быть равной 173? Объясните

а) Для начала давайте рассмотрим все возможные варианты чисел, состоящих только из цифр 1 и 6, которые могут быть записаны на доске. Мы должны посчитать сумму этих чисел и проверить, может ли она быть равной 173.

Первый вариант: число 1 записано 173 раза. В этом случае сумма будет равна \(1 + 1 + \ldots + 1 = 173\). Это возможный вариант.

Второй вариант: число 6 записано 28 раз, а число 1 записано 173 - 28 = 145 раз. В этом случае сумма будет равна \(6 + 6 + \ldots + 6 + 1 + 1 + \ldots + 1 = 28 \cdot 6 + 145 \cdot 1 = 168 + 145 = 313\). Сумма не равна 173.

Третий вариант: число 1 записано 16 раз, а число 6 записано 173 - 16 = 157 раз. В этом случае сумма будет равна \(1 + 1 + \ldots + 1 + 6 + 6 + \ldots + 6 = 16 \cdot 1 + 157 \cdot 6 = 16 + 942 = 958\). Сумма не равна 173.

Мы рассмотрели все возможные варианты и видим, что сумма чисел, записанных на доске и состоящих только из цифр 1 и 6, не может быть равной 173.

б) Теперь рассмотрим все возможные варианты чисел, состоящих только из цифр 1 и 6, которые могут быть записаны на доске. Проверим, может ли сумма этих чисел быть равной 109.

Первый вариант: число 1 записано 109 раз. В этом случае сумма будет равна \(1 + 1 + \ldots + 1 = 109\). Это возможный вариант.

Второй вариант: число 6 записано 9 раз, а число 1 записано 109 - 9 = 100 раз. В этом случае сумма будет равна \(6 + 6 + \ldots + 6 + 1 + 1 + \ldots + 1 = 9 \cdot 6 + 100 \cdot 1 = 54 + 100 = 154\). Сумма не равна 109.

Мы рассмотрели все возможные варианты и видим, что сумма чисел, записанных на доске и состоящих только из цифр 1 и 6, может быть равной 109, если число 1 записано 109 раз.

в) Теперь рассмотрим варианты для наименьшего количества чисел, которые могут быть записаны на доске, при сумме равной 1021.

Чтобы найти наименьшее количество чисел, мы можем использовать наибольшее число 6, поскольку оно дает наибольшую сумму. Оставшуюся сумму мы заполняем единицами.

Мы знаем, что 9 чисел 6 дают сумму 54. Оставшаяся сумма, которую мы должны получить с помощью единиц, равна 1021 - 54 = 967.

Наименьшее количество чисел будет, если мы используем 967 единиц. Тогда сумма будет равна \( 9 \cdot 6 + 967 \cdot 1 = 54 + 967 = 1021\).

Таким образом, наименьшее количество чисел, которые могут быть записаны на доске, при сумме равной 1021, - это 9 чисел 6 и 967 чисел 1.

Пример решения: на доске мы можем записать число 66666666611111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111, которое состоит из 9 шестерок и 967 единиц.