а) Каков объем производства и цена, при которых достигается максимальная прибыль? б) Какова максимальная прибыль?

Хорошо, давайте решим эту задачу поэтапно.

а) Чтобы определить объем производства и цену, при которых достигается максимальная прибыль, мы должны знать функцию спроса и функцию стоимости производства. Пусть функция спроса задана как \(Q = 500 - 2P\), где \(Q\) - количество товара, а \(P\) - цена товара.

Функция стоимости производства определяется как \(C = 200 + 50Q + 0.5Q^2\), где \(C\) - общие затраты.

Используя эти функции, мы можем выразить прибыль \(П\) как разность между выручкой от продажи товара и общими затратами: \(П = PQ - C\).

Для того, чтобы найти максимальную прибыль, возьмем производную прибыли \(П\) по объему производства \(Q\) и приравняем ее к нулю: \(\frac{{dП}}{{dQ}} = 0\).

Далее, найдем соответствующее значение цены товара \(P\) путем подстановки найденного значения объема производства в функцию спроса \(Q = 500 - 2P\).

б) После того, как мы найдем объем производства и цену, при которых достигается максимальная прибыль, мы можем рассчитать максимальную прибыль, подставив эти значения в функцию прибыли \(П = PQ - C\).

в) Чтобы найти средний общий затрат (АТС) для объема производства, при котором прибыль максимальна, мы должны разделить общие затраты \(C\) на соответствующий объем производства \(Q\).

Итак, вот пошаговое решение задачи:

1. Выразим спрос \(Q\) через цену \(P\) из функции спроса: \(Q = 500 - 2P\).
2. Запишем функцию стоимости производства: \(C = 200 + 50Q + 0.5Q^2\).
3. Выразим прибыль \(П\) из разности между выручкой и общими затратами: \(П = PQ - C\).
4. Найдем производную прибыли по объему производства и приравняем ее к нулю: \(\frac{{dП}}{{dQ}} = 0\).
5. Решим полученное уравнение, чтобы найти оптимальный объем производства \(Q\).
6. Подставим найденное значение объема производства \(Q\) в функцию спроса, чтобы найти соответствующую цену товара \(P\).
7. Подставим значения \(Q\) и \(P\) в функцию прибыли \(П\), чтобы найти максимальную прибыль.
8. Разделим общие затраты \(C\) на соответствующий объем производства \(Q\), чтобы найти средний общий затрат (АТС).

Таким образом, мы найдем объем производства и цену, при которых достигается максимальная прибыль, а также максимальную прибыль и средний общий затрат для объема производства, при котором прибыль максимальна.