A. Identify the correct form. Mark (v) the sentence if both options are possible: Example: I am not going / I won

Очень хорошо! Давайте разберем каждое предложение поочередно:

1. I"m going to study / I"ll study French here next year.
В данном случае оба варианта являются верными. Оба предложения описывают планы на будущее. Однако, "I"m going to study" имеет намек на уже обдуманное и запланированное действие, в то время как "I"ll study" может обозначать решение, принятое в момент разговора. Оба варианта можно отметить (v).

2. A: Shall we go / Will we go out to eat tonight? B: Good idea.
Оба варианта также являются верными. "Shall we go" и "Will we go" — оба выражают предложение идеи пойти поесть, однако "Shall we go" более непринужденное и дружелюбное, тогда как "Will we go" имеет более формальное звучание. Опять же, оба варианта можно отметить (v).

3. We"ll go / We"re going to Germany next week. I can"t wait.
Оба варианта также являются верными. Оба предложения описывают планы на будущее. "We"ll go" и "We"re going to" — оба выражают намерение отправиться в Германию на следующей неделе. Опять же, оба варианта можно отметить (v).

4. What are you going to wear / What will you wear to the party?
В данном случае оба варианта являются верными. Оба предложения задают вопрос о том, что человек будет носить на вечеринке. "What are you going to wear" и "What will you wear" — оба выражают одно и то же действие. Оба варианта можно отметить (v).

5. Do you think it will rain / Is it going to rain tomorrow?
В данном случае оба варианта являются верными. Оба предложения выражают вопрос о погоде на следующий день. "Do you think it will rain" и "Is it going to rain" — оба выражают одно и то же действие. Оба варианта можно отметить (v).

6. A: This is heavy. B: I"ll help / I will help you.
В данном случае оба варианта являются верными. Оба предложения предлагают помощь в поднятии тяжелого предмета. "I"ll help" и "I will help" — оба выражают одно и то же действие. Оба варианта можно отметить (v).

7. I"m meeting / I will meet a cousin this evening.
В данном случае оба варианта являются верными. Оба предложения описывают встречу с родственником сегодня вечером. "I"m meeting" и "I will meet" — оба выражают одно и то же действие. Оба варианта можно отметить (v).

8. I"m really sorry.
В данном случае нет вариантов, поэтому мы не можем отметить (v).

Все предложения, за исключением последнего, имеют возможность использовать оба варианта. Надеюсь, это помогло вам лучше понять различия между двумя формами и как они используются в различных контекстах. Если у вас возникнут другие вопросы, не стесняйтесь задавать.