А-8, К-«Quadratic Equations», В-23. 1 0 . Solve the equation: a) 3х2 - х - 2 = 0; b) 5y 2 = 4y; c) х2 - 16 = 0; d

Решение:

1. Решим уравнения по очереди:

a) 3х^2 - х - 2 = 0:

Для начала, посмотрим, можно ли его факторизовать. Умножаем коэффициент при х^2 на коэффициент при свободном члене: 3*(-2) = -6. Затем ищем два числа, которые при умножении дадут -6, а при сложении дадут -1 (коэффициент при х). Такие числа -3 и 2. Теперь мы можем выразить уравнение в виде:

(3х + 2)(х - 1) = 0

Решив это уравнение, найдем два значения для х:

3х + 2 = 0 => 3х = -2 => х = -2/3
х - 1 = 0 => х = 1

Итак, корни уравнения a) 3х^2 - х - 2 = 0 равны x = -2/3 и x = 1.

b) 5у^2 = 4у:

Перепишем уравнение в форме, где все члены равны нулю:

5y^2 - 4y = 0

Мы можем вынести y как общий множитель:

y(5y - 4) = 0

Решив это уравнение, найдем два значения для y:

y = 0 (из первого множителя)
5y - 4 = 0 => 5y = 4 => y = 4/5

Итак, корни уравнения b) 5у^2 = 4у равны y = 0 и y = 4/5.

c) x^2 - 16 = 0:

Это уравнение является разностью квадратов, поэтому мы можем его факторизовать:

(x + 4)(x - 4) = 0

Решив его, получаем два значения для x:

x + 4 = 0 => x = -4
x - 4 = 0 => x = 4

Итак, корни уравнения c) x^2 - 16 = 0 равны x = -4 и x = 4.

d) x^2 - 34x + 64 = 0:

Мы можем попробовать факторизовать его. Но если это не получится, воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac, где у нас a = 1, b = -34, c = 64.

D = (-34)^2 - 4 * 1 * 64 = 1156 - 256 = 900

D > 0, значит, у нас два действительных корня.

Корни можно найти с помощью формулы:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-(-34) ± √900) / (2*1)

x = (34 ± 30) / 2

x1 = (34 + 30) / 2 = 64 / 2 = 32
x2 = (34 - 30) / 2 = 4 / 2 = 2

Итак, корни уравнения d) х^2 - 34х + 64 = 0 равны x = 2 и x = 32.

2. Пусть длина прямоугольника равна а, а ширина равна b. Тогда у нас есть два уравнения:

2a + 2b = 82 (уравнение для периметра)
ab = 420 (уравнение для площади)

Мы можем решить первое уравнение относительно а:

2a = 82 - 2b
a = (82 - 2b)/2
a = 41 - b

Подставим это значение а во второе уравнение:

(41 - b)*b = 420
41b - b^2 = 420
b^2 - 41b + 420 = 0

Для решения этого уравнения, проверим его факторизацию. Найдем два числа, которые при умножении дают 420, а при сложении дают -41. Такие числа - 20 и -21.

(b - 20)(b - 21) = 0

Отсюда найдем два значения b:

b - 20 = 0 => b = 20
b - 21 = 0 => b = 21

Подставим эти значения b обратно в уравнение для а:

a = 41 - b

a1 = 41 - 20 = 21
a2 = 41 - 21 = 20

Итак, длины сторон прямоугольника равны a = 20 см и b = 21 см.

3. У нас есть уравнение x^2 + px + 5 = 0. Один из корней равен 1.

Мы можем использовать знание о свойствах корней квадратных уравнений: если один из корней равен x = 1, то сумма корней равна коэффициенту при x, умноженному на -1. То есть p = -1.

Таким образом, второй корень равен x = сумма корней - известный корень = -p - 1 = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0.

Итак, другой корень равен x = 0, и коэффициент p = -1.

Обратите внимание, что этот ответ подходит для заданного уравнения х^2 + рх + 5 = 0. Если бы у нас было другое уравнение, этот ответ не был бы применим.