9. Сколько секций и сколько спортсменов было в спортклубе, если каждая секция пригласила по пять спортсменов

Давайте разберем задачу пошагово:

Пусть \(S\) - количество секций, \(N\) - количество спортсменов в каждой секции.
Из условия задачи известно, что каждая секция пригласила по 5 спортсменов на соревнования. То есть у нас будет сумма всех спортсменов в каждой секции равна общему количеству спортсменов: \(S \cdot N = 5S\).

Также известно, что каждый спортсмен занимается в двух секциях. Предположим, что в каждой секции есть \(N\) спортсменов, то есть всего будет \(S \cdot N\) спортсменов. Каждый спортсмен должен заниматься в 2 секциях, поэтому у нас будет \(2 \cdot (S \cdot N)\) секций.

Но нам также известно, что каждая пара секций должна быть представлена хотя бы одним спортсменом. В каждой секции должен быть хотя бы один спортсмен, поэтому у нас должно было быть хотя бы \(S\) спортсменов в каждой секции. Но мы знаем, что в каждой секции было ровно \(N\) спортсменов, поэтому секций не могло быть меньше, чем \(N\). Значит, итоговое количество секций \(2 \cdot (S \cdot N)\) должно быть больше или равно \(N\).

Теперь у нас есть два уравнения:
\[
\begin{align*}
S \cdot N &= 5S \\
2 \cdot (S \cdot N) &\geq N
\end{align*}
\]

Давайте решим первое уравнение:
\[
S \cdot N = 5S
\]

Разделим обе части уравнения на \(S\):
\[
N = 5
\]

Теперь у нас есть значение \(N\). Подставим его во второе уравнение:
\[
2 \cdot (S \cdot 5) \geq 5
\]

Разделим обе части уравнения на 5:
\[
2S \geq 1
\]

Разделим обе части уравнения на 2:
\[
S \geq \frac{1}{2}
\]

Так как мы не можем иметь половину секции, то количество секций \(S\) должно быть больше или равно 1. Давайте найдем итоговое значение \(S\):

\[
S = 1
\]

Итак, в спортклубе была 1 секция, а каждая секция пригласила по 5 спортсменов на соревнования. Таким образом, в спортклубе было 1 секция и 5 спортсменов.

Проверим наше решение:
- По первому условию: \(1 \cdot 5 = 5\), верно.
- По второму условию: \(2 \cdot (1 \cdot 5) \geq 5\), верно.

Все условия выполняются, значит наше решение правильное.