9.10. What is the initial gas volume when the nitrogen is contained in a cylinder with a weightless piston

Для решения данной задачи нам понадобятся законы идеального газа и работа постоянных давлений.

Первым шагом определим известные величины:
Начальное давление газа на поршень равно атмосферному давлению \( p_0 \).
Коэффициент увеличения объема газа \( N = 5 \).
Совершенная внешними силами работа равна \( A^* = 100 \) Дж.

Также, обратим внимание на то, что газовая температура в цилиндре практически неизменна.

В данной задаче используем закон Бойля-Мариотта и формулу для работы постоянных давлений.

Закон Бойля-Мариотта утверждает, что при постоянной температуре идеальный газ обладает обратно пропорциональным соотношением между давлением и объемом:

\[ p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2 \]

где \( p_1 \) и \( V_1 \) - начальное давление и объем газа, а \( p_2 \) и \( V_2 \) - конечное давление и объем газа.

Мы знаем, что объем газа увеличился в \( N = 5 \) раз, поэтому

\[ V_2 = N \cdot V_1 \]

Теперь применим формулу для работы постоянных давлений:

\[ A = p \cdot \Delta V \]

где \( A \) - совершенная работа, \( p \) - давление и \( \Delta V \) - изменение объема газа.

Так как работа совершается постоянным давлением \( p_0 \), то формула примет вид:

\[ A^* = p_0 \cdot \Delta V \]

Заменим \( \Delta V \) на разность объемов:

\[ A^* = p_0 \cdot (V_2 - V_1) \]

Вспомним, что \( V_2 = N \cdot V_1 \):

\[ A^* = p_0 \cdot (N \cdot V_1 - V_1) \]

Раскроем скобки:

\[ A^* = p_0 \cdot (N - 1) \cdot V_1 \]

Теперь, чтобы найти начальный объем газа \( V_1 \), разделим обе части уравнения на \( p_0 \cdot (N - 1) \) и получим:

\[ V_1 = \frac{{A^*}}{{p_0 \cdot (N - 1)}} \]

Таким образом, начальный объем газа равен \( \frac{{A^*}}{{p_0 \cdot (N - 1)}} \).

Подставляя известные значения, мы можем найти ответ.