8.3. Какое значение емкостного сопротивления участка цепи переменного тока с частотой y = 50 гц, где последовательно

Решение:

8.3. Для вычисления емкостного сопротивления участка цепи, на котором подключены два конденсатора емкостью \(c = 1 \, \mu F\) каждый, используем формулу емкостного сопротивления:

\[Z_c = \frac{1}{j \cdot \omega \cdot C}\]

где \(Z_c\) - емкостное сопротивление, \(j\) - мнимая единица (корень из -1), \(\omega\) - угловая частота переменного тока, \(C\) - емкость конденсатора.

В данном случае у нас два конденсатора емкостью \(c = 1 \, \mu F\) каждый, поэтому общая емкость цепи составляет \(C_{\text{общ}} = 2 \cdot c = 2 \, \mu F\).

Подставляем значения в формулу:

\[Z_c = \frac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot 50 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{j \cdot 0,2 \cdot 10^{-3}} = \frac{1}{j \cdot 2 \cdot 10^{-1}}\]

Для упрощения выражения, можем умножить числитель и знаменатель на конъюгированное число:

\[Z_c = \frac{1}{j \cdot 2 \cdot 10^{-1}} \cdot \frac{j \cdot 2 \cdot 10^{-1}}{j \cdot 2 \cdot 10^{-1}} = \frac{j \cdot 2 \cdot 10^{-1}}{(j \cdot 2 \cdot 10^{-1}) \cdot (j \cdot 2 \cdot 10^{-1})}\]

Сокращаем дробь:

\[Z_c = \frac{j \cdot 2 \cdot 10^{-1}}{-4 \cdot 10^{-2}} = \frac{-1}{2} \cdot j = -0,5j\]

Таким образом, емкостное сопротивление участка цепи с двумя конденсаторами емкостью \(c = 1 \, \mu F\) каждый при частоте \(y = 50 \, Гц\) равно \(-0,5j\).

8.4. Для вычисления емкостного сопротивления батареи из двух конденсаторов емкостью \(c = 2 \, \mu F\), которые соединены параллельно в цепь переменного тока с частотой \(y = 50 \, Гц\), используем формулу для общего емкостного сопротивления параллельно соединенных конденсаторов:

\[\frac{1}{Z_{c_{\text{об}}} } = \frac{1}{Z_{c_1}} + \frac{1}{Z_{c_2}} + \ldots + \frac{1}{Z_{c_n}}\]

где \(Z_{c_{\text{об}}}\) - общее емкостное сопротивление, а \(Z_{c_1}\), \(Z_{c_2}\), и т.д. - емкостные сопротивления отдельных конденсаторов.

В данном случае у нас два конденсатора емкостью \(c = 2 \, \mu F\) каждый. Подставляем значения:

\[\frac{1}{Z_{c_{\text{об}}} } = \frac{1}{Z_{c_1}} + \frac{1}{Z_{c_2}} = \frac{1}{\frac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot 50 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-6}}} + \frac{1}{\frac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot 50 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-6}}}\]

Упрощаем выражение:

\[\frac{1}{Z_{c_{\text{об}}} } = 2 \cdot \frac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot 50 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-6}}\]

Для упрощения можем умножить числитель и знаменатель на конъюгированное число:

\[\frac{1}{Z_{c_{\text{об}}} } = 2 \cdot \frac{j \cdot 2 \pi \cdot 50 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{j \cdot 2 \pi \cdot 50 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-6}} = \frac{2 \cdot j \cdot 2 \pi \cdot 50 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{(j \cdot 2 \pi \cdot 50 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-6}) \cdot (j \cdot 2 \pi \cdot 50 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-6})}\]

Сокращаем дробь:

\[\frac{1}{Z_{c_{\text{об}}} } = \frac{2 \cdot j \cdot 2 \pi \cdot 50 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{-4 \cdot (2 \pi \cdot 50 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-6})} = -\frac{2 \cdot j}{4} = -0.5j\]

Таким образом, емкостное сопротивление батареи из двух конденсаторов емкостью \(c = 2 \, \mu F\) при частоте \(y = 50 \, Гц\) равно \(-0,5j\), или, в действительной форме, \(796 \, Ом\).