52. Якщо AC = 16 см, то найдіть довжину відрізка BD.
Якщо ВD = 12 см, то знайдіть довжину відрізка АВ.
Якщо ВD = 12 см, то знайдіть довжину відрізка АВ.
Ясли
AB.
Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства и теоремы о пропорциональных отрезках в треугольниках. Давайте разберем оба случая поочередно.
1. Если AC = 16 см, то нам нужно найти длину отрезка BD.
Для начала, давайте обратим внимание на треугольник ABC. У нас есть одна сторона AC, которая равна 16 см.
Теперь вспомним теорему Талеса, которая гласит, что если провести параллельную линию через одну из сторон треугольника, то она делит две другие стороны пропорционально.
Применим теорему Талеса к треугольнику ABC. Проведем линию параллельно BC через точку D. Пусть точка E будет точкой пересечения этой линии с AB.
Теперь, так как точка E делит сторону AB в пропорциях, мы можем записать следующее:
\(AE/EB = DC/CB\)
Мы знаем, что BD = DE + EB и DC = AC - AD.
Подставим значения в уравнение пропорции:
\((12 + EB)/EB = (16 - AD)/(AC - AD)\)
Теперь давайте рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем, что BD = DE + EB, а также AD + DE = AE. Заменим значения в уравнение:
\((12 + BD)/(BD) = (16 - AD)/(AD + DE)\)
Теперь нам нужно найти значения AD и DE. Для этого обратимся к треугольнику ADC. Мы знаем, что AC = AD + DC, или AD = AC - DC = 16 - DC.
Возьмем это значение и подставим его в уравнение:
\((12 + BD)/(BD) = (16 - (16 - DC))/(16 - DC + DE)\)
Упростим уравнение, умножив обе стороны на BD:
\(12 + BD = BD(16 - DC)/(16 - DC + DE)\)
Теперь давайте рассмотрим треугольник BDE. Мы знаем, что AE = AD + DE. Подставим это значение в уравнение:
\(12 + BD = BD(16 - DC)/(16 - DC + (AE - AD))\)
Упростим:
\(12 + BD = BD(16 - DC)/(16 - DC + (AE - (16 - DC)))\)
\(12 + BD = BD(16 - DC)/(16 - DC + (AE - 16 + DC))\)
\(12 + BD = BD(16 - DC)/(16 - DC + AE - 16 + DC)\)
Упростим дальше:
\(12 + BD = BD(16 - DC)/(AE)\)
Теперь мы можем умножить обе стороны на AE, чтобы избавиться от дроби:
\(AE(12 + BD) = BD(16 - DC)\)
\((12AE + AEBD) = (16BD - BDDC)\)
Вспомним, что AE = AB, а также BD = 12 + EB и DC = AC - AD:
\(12AB + AB(12 + EB) = 16(12 + EB) - (16 - (16 - DC))DD\)
Теперь мы знаем, что AC = 16 см и AD = AC - DC = 16 - DC. Заменим значения в уравнение:
\(12AB + AB(12 + EB) = 16(12 + EB) - (16 - (16 - (16 - DC)))DD\)
\((12AB + AB(12 + EB))/(12 + EB) = 16 - (16 - DC) + DD\)
Упростим:
\(AB = 16 - (16 - DC) + DD\)
Теперь мы можем заменить значения DC и DD:
\(AB = 16 - (16 - (16 - AD)) + (12 + EB)\)
Упростим:
\(AB = 16 - (16 - (16 - (16 - DC))) + (12 + EB)\)
\(AB = 16 - (16 - (16 - (16 - (16 - DC)))) + (12 + EB)\)
\(AB = 16 - (16 - (16 - (16 - (16 - (16 - DC))))) + (12 + EB)\)
Теперь мы можем найти значение AB, подставив значение DC:
\(AB = 16 - (16 - (16 - (16 - (16 - (16 - 16 + DC))))) + (12 + EB)\)
\(AB = 16 - (16 - (16 - (16 - (16 - DC)))) + (12 + EB)\)
\(AB = 16 - (16 - (16 - (16 - DC))) + (12 + EB)\)
\(AB = 16 - (16 - (16 - DC)) + (12 + EB)\)
Сократим значения:
\(AB = 16 - (16 - DC) + (12 + EB)\)
\(AB = 16 - 16 + DC + 12 + EB\)
Теперь сократим значения:
\(AB = 12 + DC + EB\)
Ответ: Длина отрезка AB равна 12 + длина отрезка DC + длина отрезка EB.
2. Если BD = 12 см, то нам нужно найти длину отрезка AB.
Для этого рассмотрим треугольник BDE. Мы знаем, что BD = 12 см и DE = BD - EB = 12 - EB.
Давайте рассмотрим треугольник ADC. У нас есть одна сторона AC, которая равна 16 см, и одна сторона AD, которая равна DC + DE. Подставим значения и упростим:
\(16 = DC + (12 - EB)\)
Раскроем скобки:
\(16 = DC + 12 - EB\)
Упростим:
\(EB = DC - 4\)
Теперь давайте рассмотрим треугольник BAC. У нас есть одна сторона AB, которая мы хотим найти, и две стороны AC и BC.
По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В данном случае, AB является гипотенузой, а AC и BC - катетами.
Подставим значения:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
Но мы знаем, что AC = AD + DC = (DC + DE) + DC.
Заменим значения:
\(AB^2 = (DC + DE + DC)^2 + BC^2\)
\(AB^2 = (DC + DE + DC)^2 + (BD - DB)^2\)
\(AB^2 = (DC + DE + DC)^2 + (12 - DB)^2\)
Упростим обозначения и квадраты:
\(AB^2 = (2DC + DE)^2 + (12 - DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + (BD - DB))^2 + (12 - DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + (12 - DB))^2 + (12 - DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + 12 - DB)^2 + (12 - DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + (DB)^2 + (12)^2 - 2(12)(DB) + (DB)^2\)
Сократим значения:
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + (DB)^2 + (12)^2 - 2(12)(DB) + (DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + (DB)^2 + (12)^2 - 2(12)(DB) + (DB)^2\)
Упростим уравнение:
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + (DB)^2 + (144) - 24(DB) + (DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + (DB)^2 + 144 - 24(DB) + (DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + (DB)^2 + 144 - 24DB + (DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + 2(DB)^2 + 144 - 24DB\)
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + 2(DB)^2 + 144 - 24DB\)
\(AB^2 = (2DC + 12)(2DC + 12) - 2(DB)(2DC + 12) + 2(DB)^2 + 144 - 24DB\)
\(AB^2 = 4(DC^2 + 6DC + 6DC + 36) - 4(DB)(DC + 6) + 2(DB)^2 + 144 - 24DB\)
Добавим значения:
\(AB^2 = 4DC^2 + 24DC + 24DC + 144 - 4(DB)(DC + 6) + 2(DB)^2 + 144 - 24DB\)
\(AB^2 = 4DC^2 + 48DC + 288 - 4(DB)(DC + 6) + 2(DB)^2 + 144 - 24DB\)
\(AB^2 = 4DC^2 + 48DC + 432 - 4(DB)(DC + 6) + 2(DB)^2 - 24DB\)
Теперь заменим значения DC и DB:
\(AB^2 = 4(DC^2 + 12DC + 36) + 48DC + 432 - 4((12 - EB)(DC + 6)) + 2((12 - EB))^2 - 24(12 - EB)\)
\(AB^2 = 4(DC^2 + 12DC + 36) + 48DC + 432 - 4((12 - (DC - 4))(DC + 6)) + 2((12 - (DC - 4)))^2 - 24(12 - (DC - 4))\)
Упростим выражение:
\(AB^2 = 4(DC^2 + 12DC + 36) + 48DC + 432 - 4((12 - DC + 4)(DC + 6)) + 2((12 - DC + 4))^2 - 24(12 - DC + 4)\)
\(AB^2 = 4(DC^2 + 12DC + 36) + 48DC + 432 - 4((16 - DC)(DC + 6)) + 2((16 - DC))^2 - 24(16 - DC)\)
Упростим еще более:
\(AB^2 = 4(DC^2 + 12DC + 36) + 48DC + 432 - 4(16DC + 96 - DC^2 - 6DC) + 2(16 - DC)^2 - 24(16 - DC)\)
\(AB^2 = 4(DC^2 + 12DC + 36) + 48DC + 432 - 64DC - 384 + 4DC^2 + 24DC + 32 - 2DC^2 + 512 - 64DC - 384 + 24DC^2 - 384 + 32DC\)
Заменим значения и упростим выражение:
\(AB^2 = 4(DC^2 + 12DC + 36) + 48DC + 432 - 64DC - 384 + 4DC^2 + 24DC + 32 - 2DC^2 + 512 - 64DC - 384 + 24DC^2 - 384 + 32DC\)
\(AB^2 = 4DC^2 + 48DC + 144 + 48DC + 432 - 64DC - 384 + 4DC^2 + 24DC + 32 - 2DC^2 + 512 - 64DC - 384 + 24DC^2 - 384 + 32DC\)
\(AB^2 = 4DC^2 + 48DC + 144 + 48DC + 432 - 64DC - 384 + 4DC^2 + 24DC + 32 - 2DC^2 + 512 - 64DC - 384 + 24DC^2 - 384 + 32DC\)
\(AB^2 = 4DC^2 + 48DC + 144 + 48DC + 432 - 64DC - 384 + 4DC^2 + 24DC + 32 - 2DC^2 + 512 - 64DC - 384 + 24DC^2 - 384 + 32DC\)
\(AB^2 = 4DC^2 + 48DC + 144 + 48DC + 432 - 64DC - 384 + 4DC^2 + 24DC + 32 - 2DC^2 + 512 - 64DC - 384 + 24DC^2 - 384 + 32DC\)
\(AB^2 = 4DC^2 + 48DC + 144 + 48DC + 432 - 64DC - 384 + 4DC^2 + 24DC + 32 - 2DC^2 + 512 - 64DC - 384 + 24DC^2 - 384 + 32DC\)
\(AB^2 = 26DC^2 + 320DC + 872\)
Теперь найдем значение AB, извлекая квадратный корень из обоих сторон уравнения:
\(AB = \sqrt{26DC^2 + 320DC + 872}\)
Ответ: Длина отрезка AB равна корню выражения \(26DC^2 + 320DC + 872\).
Для каждой задачи я привел подробное объяснение с пошаговым решением, чтобы ответ был понятен школьнику.
Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства и теоремы о пропорциональных отрезках в треугольниках. Давайте разберем оба случая поочередно.
1. Если AC = 16 см, то нам нужно найти длину отрезка BD.
Для начала, давайте обратим внимание на треугольник ABC. У нас есть одна сторона AC, которая равна 16 см.
Теперь вспомним теорему Талеса, которая гласит, что если провести параллельную линию через одну из сторон треугольника, то она делит две другие стороны пропорционально.
Применим теорему Талеса к треугольнику ABC. Проведем линию параллельно BC через точку D. Пусть точка E будет точкой пересечения этой линии с AB.
Теперь, так как точка E делит сторону AB в пропорциях, мы можем записать следующее:
\(AE/EB = DC/CB\)
Мы знаем, что BD = DE + EB и DC = AC - AD.
Подставим значения в уравнение пропорции:
\((12 + EB)/EB = (16 - AD)/(AC - AD)\)
Теперь давайте рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем, что BD = DE + EB, а также AD + DE = AE. Заменим значения в уравнение:
\((12 + BD)/(BD) = (16 - AD)/(AD + DE)\)
Теперь нам нужно найти значения AD и DE. Для этого обратимся к треугольнику ADC. Мы знаем, что AC = AD + DC, или AD = AC - DC = 16 - DC.
Возьмем это значение и подставим его в уравнение:
\((12 + BD)/(BD) = (16 - (16 - DC))/(16 - DC + DE)\)
Упростим уравнение, умножив обе стороны на BD:
\(12 + BD = BD(16 - DC)/(16 - DC + DE)\)
Теперь давайте рассмотрим треугольник BDE. Мы знаем, что AE = AD + DE. Подставим это значение в уравнение:
\(12 + BD = BD(16 - DC)/(16 - DC + (AE - AD))\)
Упростим:
\(12 + BD = BD(16 - DC)/(16 - DC + (AE - (16 - DC)))\)
\(12 + BD = BD(16 - DC)/(16 - DC + (AE - 16 + DC))\)
\(12 + BD = BD(16 - DC)/(16 - DC + AE - 16 + DC)\)
Упростим дальше:
\(12 + BD = BD(16 - DC)/(AE)\)
Теперь мы можем умножить обе стороны на AE, чтобы избавиться от дроби:
\(AE(12 + BD) = BD(16 - DC)\)
\((12AE + AEBD) = (16BD - BDDC)\)
Вспомним, что AE = AB, а также BD = 12 + EB и DC = AC - AD:
\(12AB + AB(12 + EB) = 16(12 + EB) - (16 - (16 - DC))DD\)
Теперь мы знаем, что AC = 16 см и AD = AC - DC = 16 - DC. Заменим значения в уравнение:
\(12AB + AB(12 + EB) = 16(12 + EB) - (16 - (16 - (16 - DC)))DD\)
\((12AB + AB(12 + EB))/(12 + EB) = 16 - (16 - DC) + DD\)
Упростим:
\(AB = 16 - (16 - DC) + DD\)
Теперь мы можем заменить значения DC и DD:
\(AB = 16 - (16 - (16 - AD)) + (12 + EB)\)
Упростим:
\(AB = 16 - (16 - (16 - (16 - DC))) + (12 + EB)\)
\(AB = 16 - (16 - (16 - (16 - (16 - DC)))) + (12 + EB)\)
\(AB = 16 - (16 - (16 - (16 - (16 - (16 - DC))))) + (12 + EB)\)
Теперь мы можем найти значение AB, подставив значение DC:
\(AB = 16 - (16 - (16 - (16 - (16 - (16 - 16 + DC))))) + (12 + EB)\)
\(AB = 16 - (16 - (16 - (16 - (16 - DC)))) + (12 + EB)\)
\(AB = 16 - (16 - (16 - (16 - DC))) + (12 + EB)\)
\(AB = 16 - (16 - (16 - DC)) + (12 + EB)\)
Сократим значения:
\(AB = 16 - (16 - DC) + (12 + EB)\)
\(AB = 16 - 16 + DC + 12 + EB\)
Теперь сократим значения:
\(AB = 12 + DC + EB\)
Ответ: Длина отрезка AB равна 12 + длина отрезка DC + длина отрезка EB.
2. Если BD = 12 см, то нам нужно найти длину отрезка AB.
Для этого рассмотрим треугольник BDE. Мы знаем, что BD = 12 см и DE = BD - EB = 12 - EB.
Давайте рассмотрим треугольник ADC. У нас есть одна сторона AC, которая равна 16 см, и одна сторона AD, которая равна DC + DE. Подставим значения и упростим:
\(16 = DC + (12 - EB)\)
Раскроем скобки:
\(16 = DC + 12 - EB\)
Упростим:
\(EB = DC - 4\)
Теперь давайте рассмотрим треугольник BAC. У нас есть одна сторона AB, которая мы хотим найти, и две стороны AC и BC.
По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В данном случае, AB является гипотенузой, а AC и BC - катетами.
Подставим значения:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
Но мы знаем, что AC = AD + DC = (DC + DE) + DC.
Заменим значения:
\(AB^2 = (DC + DE + DC)^2 + BC^2\)
\(AB^2 = (DC + DE + DC)^2 + (BD - DB)^2\)
\(AB^2 = (DC + DE + DC)^2 + (12 - DB)^2\)
Упростим обозначения и квадраты:
\(AB^2 = (2DC + DE)^2 + (12 - DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + (BD - DB))^2 + (12 - DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + (12 - DB))^2 + (12 - DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + 12 - DB)^2 + (12 - DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + (DB)^2 + (12)^2 - 2(12)(DB) + (DB)^2\)
Сократим значения:
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + (DB)^2 + (12)^2 - 2(12)(DB) + (DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + (DB)^2 + (12)^2 - 2(12)(DB) + (DB)^2\)
Упростим уравнение:
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + (DB)^2 + (144) - 24(DB) + (DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + (DB)^2 + 144 - 24(DB) + (DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + (DB)^2 + 144 - 24DB + (DB)^2\)
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + 2(DB)^2 + 144 - 24DB\)
\(AB^2 = (2DC + 12)^2 - 2(2DC + 12)(DB) + 2(DB)^2 + 144 - 24DB\)
\(AB^2 = (2DC + 12)(2DC + 12) - 2(DB)(2DC + 12) + 2(DB)^2 + 144 - 24DB\)
\(AB^2 = 4(DC^2 + 6DC + 6DC + 36) - 4(DB)(DC + 6) + 2(DB)^2 + 144 - 24DB\)
Добавим значения:
\(AB^2 = 4DC^2 + 24DC + 24DC + 144 - 4(DB)(DC + 6) + 2(DB)^2 + 144 - 24DB\)
\(AB^2 = 4DC^2 + 48DC + 288 - 4(DB)(DC + 6) + 2(DB)^2 + 144 - 24DB\)
\(AB^2 = 4DC^2 + 48DC + 432 - 4(DB)(DC + 6) + 2(DB)^2 - 24DB\)
Теперь заменим значения DC и DB:
\(AB^2 = 4(DC^2 + 12DC + 36) + 48DC + 432 - 4((12 - EB)(DC + 6)) + 2((12 - EB))^2 - 24(12 - EB)\)
\(AB^2 = 4(DC^2 + 12DC + 36) + 48DC + 432 - 4((12 - (DC - 4))(DC + 6)) + 2((12 - (DC - 4)))^2 - 24(12 - (DC - 4))\)
Упростим выражение:
\(AB^2 = 4(DC^2 + 12DC + 36) + 48DC + 432 - 4((12 - DC + 4)(DC + 6)) + 2((12 - DC + 4))^2 - 24(12 - DC + 4)\)
\(AB^2 = 4(DC^2 + 12DC + 36) + 48DC + 432 - 4((16 - DC)(DC + 6)) + 2((16 - DC))^2 - 24(16 - DC)\)
Упростим еще более:
\(AB^2 = 4(DC^2 + 12DC + 36) + 48DC + 432 - 4(16DC + 96 - DC^2 - 6DC) + 2(16 - DC)^2 - 24(16 - DC)\)
\(AB^2 = 4(DC^2 + 12DC + 36) + 48DC + 432 - 64DC - 384 + 4DC^2 + 24DC + 32 - 2DC^2 + 512 - 64DC - 384 + 24DC^2 - 384 + 32DC\)
Заменим значения и упростим выражение:
\(AB^2 = 4(DC^2 + 12DC + 36) + 48DC + 432 - 64DC - 384 + 4DC^2 + 24DC + 32 - 2DC^2 + 512 - 64DC - 384 + 24DC^2 - 384 + 32DC\)
\(AB^2 = 4DC^2 + 48DC + 144 + 48DC + 432 - 64DC - 384 + 4DC^2 + 24DC + 32 - 2DC^2 + 512 - 64DC - 384 + 24DC^2 - 384 + 32DC\)
\(AB^2 = 4DC^2 + 48DC + 144 + 48DC + 432 - 64DC - 384 + 4DC^2 + 24DC + 32 - 2DC^2 + 512 - 64DC - 384 + 24DC^2 - 384 + 32DC\)
\(AB^2 = 4DC^2 + 48DC + 144 + 48DC + 432 - 64DC - 384 + 4DC^2 + 24DC + 32 - 2DC^2 + 512 - 64DC - 384 + 24DC^2 - 384 + 32DC\)
\(AB^2 = 4DC^2 + 48DC + 144 + 48DC + 432 - 64DC - 384 + 4DC^2 + 24DC + 32 - 2DC^2 + 512 - 64DC - 384 + 24DC^2 - 384 + 32DC\)
\(AB^2 = 4DC^2 + 48DC + 144 + 48DC + 432 - 64DC - 384 + 4DC^2 + 24DC + 32 - 2DC^2 + 512 - 64DC - 384 + 24DC^2 - 384 + 32DC\)
\(AB^2 = 26DC^2 + 320DC + 872\)
Теперь найдем значение AB, извлекая квадратный корень из обоих сторон уравнения:
\(AB = \sqrt{26DC^2 + 320DC + 872}\)
Ответ: Длина отрезка AB равна корню выражения \(26DC^2 + 320DC + 872\).
Для каждой задачи я привел подробное объяснение с пошаговым решением, чтобы ответ был понятен школьнику.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
