4. В экономике задание 4. На рынке с олигополией фирма, которая возглавляет рынок, имеет функцию общих затрат TC

Для решения данной задачи нам потребуется найти равновесие на рынке с олигополией. Для этого мы должны найти объем производства и цену, которые установит фирма-лидер.

По условию задачи, функция общих затрат фирмы-лидера задается уравнением TC = Q^2 + 3Q, а функция спроса на рынке задается уравнением Q = 90 - P. Здесь Q обозначает объем производства, а P - цену товара.

Чтобы найти объем производства фирмы-лидера, мы должны найти значение Q, при котором ее прибыль будет наибольшей. Прибыль фирмы-лидера равна разности между выручкой и затратами. Выручку можно найти, умножив цену на объем производства: R = P * Q. Затраты фирмы-лидера равны функции общих затрат: TC = Q^2 + 3Q.

Прибыль фирмы-лидера выражается следующим образом:
\(\pi = R - TC = PQ - (Q^2 + 3Q)\).
Тогда \(\pi = (90 - P)Q - (Q^2 + 3Q)\).

Чтобы найти оптимальный объем производства фирмы-лидера, нужно найти экстремум прибыли, взяв производную по Q и приравняв ее к нулю:
\(\frac{\partial\pi}{\partial Q} = 90 - 2Q - 3 = -2Q + 87\).

Установив равенство нулю, получаем уравнение -2Q + 87 = 0. Решая его, находим \(Q = 43.5\).

Теперь найдем соответствующую цену, которую установит фирма-лидер. Подставим найденное значение Q в функцию спроса: \(Q = 90 - P\).
\(43.5 = 90 - P\). Решая это уравнение, находим цену \(P = 90 - 43.5 = 46.5\).

Таким образом, фирма-лидер установит объем производства \(Q = 43.5\) и цену \(P = 46.5\).