25 ! a) В шеренге стоит 100 человек, а одного из них зовут Лёша. Все, кроме Лёши, либо говорят всегда правду (рыцари

a) При решении этой задачи нам нужно определить, сколько лжецов может быть среди остальных 99 человек в шеренге. Мы знаем, что Лёша является рыцарем, поэтому он говорит правду.

Предположим, что среди оставшихся 99 человек есть n лжецов. Тогда каждый из этих лжецов будет говорить правду о том, что между ним и Лёшей стоят ровно 2 лжеца. Однако, поскольку лжецы всегда лгут, они будут солгать о количестве лжецов между ними и Лёшей.

Поскольку Лёша уже говорит правду о том, что между ним и каждым лжецом стоят 2 лжеца, это означает, что каждый из лжецов будет говорить обратное количество лжецов. То есть, если между Лёшей и лжецом есть 2 лжеца, то лжец скажет, что между ними стоит один лжец.

Теперь давайте рассмотрим возможные варианты значений n - количество лжецов среди остальных 99 человек:

1. Если n = 0, то это означает, что нет лжецов среди остальных 99 человек. В этом случае каждый из них будет говорить правду о том, что между ним и Лёшей стоят 2 лжеца. Таким образом, это возможный вариант.

2. Если n = 1, то это означает, что только один человек среди остальных 99 человек является лжецом. Этот лжец будет говорить ложь о количестве лжецов между ним и Лёшей. Таким образом, этот вариант не является возможным.

3. Если n > 1, то это означает, что среди остальных 99 человек есть более одного лжеца. Однако каждый из них будет говорить о количестве лжецов между ним и Лёшей, которое отличается от фактического числа лжецов в этой группе. Таким образом, этот вариант также не является возможным.

Таким образом, единственным возможным вариантом является, когда среди остальных 99 человек нет лжецов, то есть в шеренге может быть только 1 лжец (Лёша) при условии, что он является рыцарем.

b) Чтобы решить эту задачу, давайте представим себе, что круглый стол представляет собой циклическую последовательность аборигенов, где каждый номерованный абориген сидит на своем месте. То есть первый абориген (номер 1) сидит рядом со вторым аборигеном (номер 2), последний абориген (номер 143) сидит рядом с первым аборигеном (номер 1) и так далее.

Итак, мы знаем, что каждый абориген говорит, что следующие k аборигенов после него являются лжецами.

Для того чтобы это было возможно, следующие k аборигенов должны быть лжецами, что означает, что для каждого аборигена i из диапазона от 1 до 143, следующие k аборигенов после аборигена i, обозначенные как i+1, i+2, ..., (i+k)mod143, являются лжецами.

То есть для каждого i от 1 до 143 должно выполняться следующее условие:
(1) i+1, i+2, ..., (i+k)mod143 - лжецы

Теперь давайте рассмотрим возможные значения k, при которых это условие выполнено.

1. Когда k = 2:
Для каждого аборигена i из диапазона от 1 до 143, следующие 2 аборигена после аборигена i будут обозначаться как i+1 и i+2.

Поскольку a mod b представляет остаток от деления a на b, мы можем заменить (i+k)mod143 на (i+2)mod143. Тогда условие (1) превращается в
i+1, i+2 - лжецы

Это условие является истинным для всех i от 1 до 143. Поэтому k = 2 является одним из возможных значений.

2. Когда k = 71:
Для каждого аборигена i из диапазона от 1 до 143, следующие 71 аборигенов после аборигена i будут обозначены как i+1, i+2, ..., i+71.

Опять же, заменяя (i+k)mod143 на (i+71)mod143, мы получаем следующее условие:
i+1, i+2, ..., i+71 - лжецы

Это условие также является истинным для всех i от 1 до 143. Поэтому k = 71 также является возможным значением.

Таким образом, при значениях k = 2 и k = 71 условие задачи выполняется.