2 вариант 1. Чему равна площадь поверхности пирамиды MABCD с основанием в форме квадрата ABCD, ребром

1. Для нахождения площади поверхности пирамиды MABCD мы должны сложить площади всех ее боковых поверхностей и площадь основания.

Основание пирамиды имеет форму квадрата ABCD, поэтому его площадь равна стороне, возведенной в квадрат. Так как сторона квадрата равна a=6, то площадь основания равна $6^2=36$ квадратных единиц.

Теперь нам нужно найти площадь каждой боковой поверхности. Боковая поверхность каждой пирамиды является треугольником. Давайте найдем высоту треугольника.

Треугольник MDA - прямоугольный, так как ребро MD перпендикулярно к плоскости основания ABCD. По условию, AD = DM = a = 6.

Таким образом, треугольник MDA - это равнобедренный прямоугольный треугольник со сторонами 6, 6 и $6\cdot \sqrt{2}$.

По теореме Пифагора, мы можем найти высоту треугольника MDA, применяя формулу $h=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}^2}=\sqrt{36-\frac{36}{2}}=\sqrt{36-18}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности каждого треугольника, используя формулу для площади прямоугольного треугольника: $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$, где a - длина основания треугольника, h - высота треугольника.

Площадь каждого треугольника равна $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\sqrt{2}=9\sqrt{2}$ квадратных единиц.

Так как у пирамиды MABCD есть 4 таких треугольника, площадь всех боковых поверхностей равна $4\cdot 9\sqrt{2}=36\sqrt{2}$ квадратных единиц.

Итак, площадь поверхности пирамиды MABCD можно найти, сложив площадь основания и площадь всех боковых поверхностей: $36+36\sqrt{2}$ квадратных единиц.

2. а) Меньшая высота параллелограмма может быть найдена с помощью теоремы синусов. Давайте обозначим острый угол параллелограмма как α.

Из условия задачи, сторона параллелограмма равна 8√2, а угол α равен 45°.

Теорема синусов утверждает, что отношение длины стороны параллелограмма к синусу угла является константой. То есть $\frac{a}{\sin (\alpha )}=\frac{h}{\sin (90°)}$, где h - высота параллелограмма.

Так как синус 90° равен 1, наше уравнение принимает форму $\frac{8\sqrt{2}}{\sin (45°)}=h$.

Мы знаем, что $\sin (45°)=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставляя это значение, получаем:

$$h=\frac{8\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=8\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=16.$$

Таким образом, меньшая высота параллелограмма равна 16.

б) Угол между плоскостью ABC1 и плоскостью основания может быть найден с помощью тригонометрических соотношений.

Мы знаем, что плоскость ABC1 параллельна плоскости основания ABCD, поэтому угол между этими плоскостями будет равен углу между соответствующими нормалями.

Так как параллелограмм ABC1B1 - параллелепипед, векторы AB и AC перпендикулярны и лежат в каждой плоскости. Поэтому мы можем использовать скалярное произведение этих векторов для нахождения угла между плоскостями:

$$\cos (\theta )=\frac{\mathbf{AB}\cdot \mathbf{AC}}{|\mathbf{AB}|\cdot |\mathbf{AC}|}.$$

Мы знаем, что длина вектора AB равна 8√2, а длина вектора AC равна 16. Также мы знаем, что эти векторы образуют прямой угол, поэтому их скалярное произведение будет равно нулю.

Подставляя известные значения в формулу, получаем:

$$\cos (\theta )=\frac{0}{8\sqrt{2}\cdot 16}=0.$$

Так как $\cos (\theta )=0$, угол между плоскостью ABC1 и плоскостью основания равен 90°.

в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда может быть найдена путем сложения площадей его всех боковых граней.

У нашего параллелепипеда есть 4 боковые грани, каждая из которых является прямоугольником. Длина одной стороны прямоугольника равна длине основания параллелепипеда (8√2), а другая сторона равна высоте (16).

Таким образом, площадь одной боковой грани равна $8\sqrt{2}\cdot 16=128\sqrt{2}$ квадратных единиц.

Так как у нас есть 4 боковые грани, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна $4\cdot 128\sqrt{2}=512\sqrt{2}$ квадратных единиц.

г) Площадь поверхности параллелепипеда может быть найдена путем сложения площадей всех его граней.

Параллелепипед имеет 6 граней, каждая из которых является прямоугольником. Площади параллельных граней равны (8√2) * 16 = 128√2, а площади оснований равны (8√2) * (16) = 128√2.

Таким образом, площадь параллелепипеда равна $2\cdot 128\sqrt{2}+4\cdot 128\sqrt{2}=768\sqrt{2}$ квадратных единиц.

Это и есть ответ на все вопросы задачи. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь вам!