1a: How long do tortoises usually live for? b: Have you heard about any tortoises that have lived over a hundred years?

7a: Что такое производная функции?
b: Производная функции является показателем ее скорости изменения в каждой точке. Она позволяет узнать, насколько быстро меняется значение функции при изменении ее аргумента. Значение производной может быть положительным, если функция возрастает, отрицательным, если функция убывает, или равным нулю в точке экстремума. У производной функции есть несколько интерпретаций. Например, геометрически производная в точке является угловым коэффициентом касательной прямой к графику функции в данной точке. Рассчитать производную функции можно с помощью математических правил и формул, таких как правило дифференцирования сложной функции или правило дифференцирования произведения функций. Чтобы рассчитать производную функции, необходимо использовать математическую нотацию, такую как \(f"(x)\) или \(\frac{{dy}}{{dx}}\).

7b: Например, рассмотрим функцию \(f(x) = x^2\). Чтобы найти производную этой функции, мы можем применить правило дифференцирования степенной функции. По этому правилу, производная функции \(f(x) = x^2\) равна \(f"(x) = 2x\). Это означает, что скорость изменения функции \(f(x) = x^2\) в каждой точке равна двукратному значению \(x\). Например, если мы возьмем точку \(x = 2\), производная \(f"(2)\) будет равна 4, что означает, что функция изменяется со скоростью 4 в этой точке.

7c: В данном примере производная функции \(f(x) = x^2\) является линейной функцией, так как она представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом 2. Производная функции может быть полезна для определения момента, когда функция достигает максимума или минимума, а также для анализа формы и поведения функции в различных точках.