17. Если сумма a+b+c равна нулю, а произведение abc равно 78, то какое значение имеет выражение (a+b)(b+c)(c+a)?

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться свойством раскрытия скобок. Давайте разберемся пошагово.

1. У нас дано, что сумма \(a+b+c\) равна нулю. Мы можем записать это как \(a+b+c=0\).

2. С учетом этого равенства, давайте выразим одну из переменных через остальные две. Например, можно выразить \(c\) следующим образом: \(c=-a-b\).

3. Затем мы можем подставить это выражение для \(c\) в выражение для произведения \(abc\), чтобы найти уравнение только с переменными \(a\) и \(b\). Так как \(abc=78\), мы получим \((-a)(-b)(-a-b)=78\).

4. Если раскрыть скобки, получим:
\[ab(a+b)+a^2b=78.\]

5. Теперь давайте рассмотрим выражение \((a+b)(b+c)(c+a)\). Мы можем подставить выражения для \(b\) и \(c\) из предыдущих шагов в это выражение. Получим:
\[(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b)(b+(-a-b))(c+(-a-b)).\]

6. После раскрытия скобок получим:
\[(a+b)(b+(-a-b))(c+(-a-b))=(a+b)(-a)(-a-2b)(-a-2b).\]

7. После упрощения получим:
\[(a+b)(-a)(-a-2b)(-a-2b)=-a^2(a+2b)(a+2b).\]

8. Теперь вернемся к уравнению \(ab(a+b)+a^2b=78\). Если мы заменим \(ab\) на \(-a^2(a+2b)\), то получим:
\[-a^2(a+2b)(a+2b)(a+b)+a^2b=78.\]

9. При раскрытии скобок получим:
\[-a^2a^2(a+2b)(a+2b)-a^2(a+2b)(a+2b)b+a^2b=78.\]

10. После упрощения получим:
\[-a^4(a+2b)(a+2b)-a^3(a+2b)(a+2b)+a^2b=78.\]

11. После дальнейших математических операций получим:
\[-a^4(a+2b)(a+2b)-a^3(a+2b)^2+a^2b=78.\]

12. Преобразуем это уравнение, чтобы получить его в полном виде:
\(-a^4(a^2+4ab+4b^2)-a^3(a^2+4ab+4b^2)+a^2b=78.\)

13. Просуммируем все члены и получим:
\(-a^6-4a^5b-4a^4b^2-a^5-4a^4b-4a^3b^2+a^2b=78.\)

14. Далее упростим:
\(-a^6-a^5-4a^4b-4a^4b^2-4a^3b^2+a^2b=78.\)

15. После сортировки получим:
\(-a^6-a^5-4a^4b-4a^3b^2+a^2b-4a^4b^2=78.\)

16. Теперь объединим все члены в одно уравнение и получим:
\(-a^6-a^5-4a^4b-4a^4b^2-4a^3b^2+a^2b+78=0.\)

17. Мы знаем, что если \(a+b+c=0\), то \(a^3+b^3+c^3=3abc\). Давайте воспользуемся этой формулой и найдем значение выражения \(a^2+ab+b^2\):
\[a^3+b^3+c^3-3abc=a^2(a+b)+b^2(a+b)+c^2(a+b)=0.\]
Следовательно, \(a^2+ab+b^2=0\).

18. Заменим в нашем уравнении \(a^2+ab+b^2\) на 0 и получим:
\(-a^6-a^5-4a^4b-4a^4b^2-4a^3b^2+a^2b+78=0.\)

19. Теперь мы можем факторизовать это уравнение:
\[(-a^2)(a+b)(a^4+ab^3+a^3b^2+4a^2b^3+4a^2b^2)=0.\]

20. Заметим, что первый множитель \(-a^2\) равен нулю, поэтому его будем игнорировать. Осталось факторизовать второй множитель:
\[(a+b)(a^4+ab^3+a^3b^2+4a^2b^3+4a^2b^2)=0.\]

21. Остается найти значение выражения \((a+b)(a^4+ab^3+a^3b^2+4a^2b^3+4a^2b^2)\). Давайте рассмотрим выражение \((a+b)(a^4+ab^3+a^3b^2+4a^2b^3+4a^2b^2)\) пошагово:

- Распределим множители из первой скобки в выражении во вторую скобку:
\[a(a^4+ab^3+a^3b^2+4a^2b^3+4a^2b^2)+b(a^4+ab^3+a^3b^2+4a^2b^3+4a^2b^2).\]

- Раскроем скобки:
\[a^5+a^2b^3+a^4b^2+4a^3b^3+4a^3b^2+ba^4+ab^4+ba^3+ab^3+4a^2b^3+ba^2+ab^2+4a^2b^2.\]

- Сгруппируем слагаемые:
\[a^5+a^4b^2+a^2b^3+4a^3b^3+4a^3b^2+ab^4+ba^4+ba^3+ab^3+ba^2+4a^2b^3+ab^2+4a^2b^2.\]

- Заметим, что у нас есть слагаемые с одинаковыми степенями переменных. Сгруппируем их:
\[a^5+(a^4b^2+ba^4)+(ab^4+ba^3)+(a^3b^3+4a^3b^2)+(4a^2b^3+4a^2b^3)+((a^2b^3+ab^3)+ba^3)+((ba^2+ab^2)+b(a^2b^2)).\]

- Упростим каждую скобку:
\[a^5+a^4(b^2+a^2)+ab^4+ba^3+a^4(1+b)+ab^3(b+1)+a^3b^3+8a^2b^3+a^2b^4+a^3(b+a^2)+ab^2(b+a^2)+ab^3(a+b)+ab^2(a^2+b^2).\]

- Сгруппируем слагаемые:
\[a^5+a^4(b^2+a^2+b+1)+a^3(b^3+b+a^2)+a^2(b^4+8b^3+b^2+a^2)+ab^2(b^2+b+a^2)+ab^3(a^2+a+b).\]

22. Таким образом, мы получили, что \((a+b)(a^4+ab^3+a^3b^2+4a^2b^3+4a^2b^2)\) равно:
\[a^5+a^4(b^2+a^2+b+1)+a^3(b^3+b+a^2)+a^2(b^4+8b^3+b^2+a^2)+ab^2(b^2+b+a^2)+ab^3(a^2+a+b).\]

23. Возвращаясь к исходному выражению, где у нас есть равенство \((a+b)(b+c)(c+a)\), мы можем заменить выражение \((a+b)(b+c)(c+a)\) на полученное нами значение, которое равно:
\[a^5+a^4(b^2+a^2+b+1)+a^3(b^3+b+a^2)+a^2(b^4+8b^3+b^2+a^2)+ab^2(b^2+b+a^2)+ab^3(a^2+a+b).\]

24. Ответом на задачу будет значение полученного выражения:
\[a^5+a^4(b^2+a^2+b+1)+a^3(b^3+b+a^2)+a^2(b^4+8b^3+b^2+a^2)+ab^2(b^2+b+a^2)+ab^3(a^2+a+b).\]

Мы можем дальше упрощать это выражение, если задача требует конкретное ответ, но это будет достаточно сложной задачей, так как нам не даны значения переменных \(a\) и \(b\).