11. Что представляет собой движение мальчика вращающего камень в вертикальной плоскости, когда он связан веревкой

11. Движение мальчика, вращающего камень в вертикальной плоскости, является примером кругового движения. Давайте рассмотрим каждый пункт задачи поочередно:

а) Сначала рассмотрим скорость вращения камня. Дано, что частота вращения камня составляет 120 об/мин. Частоту обычно обозначают символом \(f\) и измеряют в оборотах в единицу времени. В нашем случае \(f = 120 \, \text{об/мин}\). Чтобы перевести частоту вращения в радианы в единицу времени, мы используем следующую формулу:
\[ \omega = 2\pi f, \]
где \(\omega\) - угловая скорость в радианах в единицу времени.

Подставляя значения, получаем:
\[ \omega = 2\pi \cdot 120 = 240\pi \, \text{рад/мин}. \]

Однако задача просит выразить угловую скорость в радианах в секунду, поэтому переведем угловую скорость из минут в секунды, разделив на 60:
\[ \omega = \frac{240\pi}{60} = 4\pi \, \text{рад/с}. \]

Таким образом, скорость вращения камня составляет \(4\pi \, \text{рад/с}\).

б) Для определения момента, когда мальчик должен отпустить веревку, чтобы камень полетел вертикально вверх, необходимо рассмотреть вертикальную составляющую скорости.

Помним, что находясь на веревке, камень движется по окружности. В момент отпускания веревки камень будет двигаться только по инерции (без действия центробежной силы), и его скорость будет направлена по радиусу окружности (вверх или вниз).

Когда камень полетит вертикально вверх, его вертикальная скорость станет равной нулю. В этот момент камень достигнет точки наибольшей высоты.

Так как камень движется по окружности радиусом 0,5 м, то когда веревка будет натянутой на максимальное значение, ребро окружности будет направлено вертикально вверх и камень летит вертикально вверх.

Ответ: Мальчик должен отпустить веревку в момент, когда веревка будет направлена вверх.

в) Чтобы найти высоту, на которую поднимется камень, мы можем использовать закон сохранения механической энергии. Изначально, когда камень вращается вокруг оси, у него есть кинетическая энергия (энергия движения) и потенциальная энергия (связанная с высотой).

При отпускании камня, его потенциальная энергия приходит к нулю, так как у мальчика нет влияния на возможность его движения. По принципу сохранения механической энергии, потенциальная энергия, которая была нулевой, превращается в кинетическую энергию камня.

Высоту, на которую поднимется камень, можно найти, используя следующую формулу:
\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2, \]
где \(m\) - масса камня, \(g\) - ускорение свободного падения (примем его равным 9,8 \(\text{м/с}^2\)), \(h\) - высота, \(v\) - скорость камня.

Заметим, что масса камня пропала из уравнения, так как она не меняется при данной задаче. Также используем факт, что скорость камня равна скорости вращения камня, которую мы уже рассчитали и получили: \(v = 4\pi \, \text{рад/с}\). Теперь мы можем решить уравнение:
\[ gh = \frac{1}{2} v^2. \]

Подставляя значения, получаем:
\[ 9,8h = \frac{1}{2} (4\pi)^2. \]

Решаем уравнение:
\[ h = \frac{(4\pi)^2}{2 \cdot 9,8}. \]

Высота, на которую поднимется камень, равна \( h \approx 8,092 \) метров (округлим до трех знаков после запятой).

Ответ: Камень поднимется на примерно 8,092 метров.