1) Yesterday he mentioned they were supporting this project at that moment. 2) He announced that the Russian delegation

1) Вчера он упомянул, что они поддерживали этот проект в то время.
Обоснование: Глагол "mentioned" указывает на то, что он упомянул о поддержке проекта. "Were supporting" говорит о том, что поддержка уже происходила в прошедшем времени. "At that moment" указывает на конкретный момент в прошлом.

2) Он объявил, что российская делегация покинет сессию, чтобы замедлить свой протест.
Обоснование: Глагол "announced" указывает на то, что он объявил о решении делегации. Глагол "would leave" говорит о будущем времени в прошлом, что делегация покинет сессию. "To slow its protest" указывает на цель покидания сессии.

3) Мне показалось, что ему было жаль, то что он сказал.
Обоснование: Фраза "I felt" указывает на личные ощущения говорящего о другом человеке. Глагол "regretted" говорит о том, что ему было жаль того, что он сказал. "What he had told" относится к событию, которое уже произошло в прошлом.

4) Джейн сказала, что каждое лето она изучала английский в Лондоне, поэтому ей пришлось уйти от меня.
Обоснование: Глагол "said" указывает на факт, что Джейн что-то сказала. Фраза "every summer" означает, что это ежегодное действие происходит в прошлом. "She had to leave me" указывает на причину ухода - изучение английского в Лондоне.

5) его отец ... ему мотоцикл, если он успешно сдает экзамены.
Обоснование: В данном случае требуется установить правильную форму глагола для связи между событиями. Фраза "if he passed his exams successfully" указывает на условие, которое должно выполниться, чтобы отец купил ему мотоцикл. Так как это предложение является условным (условие в будущем времени), правильный вариант ответа будет "будет покупать" (a) - "will buy".