1) Яка довжина сторони АС в трикутнику ABC, якщо BC дорівнює 5√3 см, кут А дорівнює 60 градусів, а кут В дорівнює

1) Щоб вирішити цю задачу, нам знадобиться використати косинусну теорему. Косинусна теорема говорить, що квадрат довжини одного з боків трикутника дорівнює сумі квадратів довжин двох інших боків мінус подвоєний добуток довжин цих двох боків, помножений на косинус відповідного кута.

У нашому випадку, ми хочемо знайти довжину сторони АС. Так як у нас є два кути трикутника, ми використаємо кут А, який дорівнює 60 градусів.

Застосуємо косинусну теорему до трикутника ABC.

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(A) \]

Підставляємо відповідні значення:

\[AC^2 = (4\sqrt{6})^2 + (5\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4\sqrt{6} \cdot 5\sqrt{3} \cdot \cos(60^\circ) \]

\[AC^2 = 96 + 75 - 2 \cdot 4\sqrt{6} \cdot 5\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \]

\[AC^2 = 171 - 40\sqrt{18} \]

Ми отримали вираз для квадрату довжини сторони АС. Щоб знайти саму довжину, нам потрібно обчислити корінь квадратний з виразу:

\[AC = \sqrt{171 - 40\sqrt{18}} \approx 9.125 \, \text{см} \]

Таким чином, довжина сторони АС в трикутнику ABC при заданих умовах становить приблизно 9.125 см.

2) В цій задачі, нам також знадобиться використати косинусну теорему. Ми хочемо знайти кут С.

Застосуємо косинусну теорему до трикутника АВС.

\[\cos(C) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \]

Підставляємо відповідні значення:

\[\cos(C) = \frac{(3\sqrt{2})^2 + (6)^2 - (5\sqrt{3})^2}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 6} \]

\[\cos(C) = \frac{18 + 36 - 75}{36\sqrt{2}} \]

\[\cos(C) = \frac{-21}{36\sqrt{2}} \]

Для обчислення кута С нам потрібно знайти обернену функцію косинусу (арккосинус). Використовуючи калькулятор арккосинусу, отримаємо:

\[C \approx 120.81^\circ\]

Таким чином, кут С в трикутнику АВС при заданих умовах становить приблизно 120.81 градусів.

3) Для цієї задачі також потрібно використовувати косинусну теорему. Ми хочемо знайти кут А.

Застосуємо косинусну теорему до трикутника АВС.

\[\cos(A) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \]

Підставляємо відповідні значення:

\[\cos(A) = \frac{(8)^2 + (4\sqrt{6})^2 - (5\sqrt{3})^2}{2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{6}} \]

\[\cos(A) = \frac{64 + 96 - 75}{64\sqrt{6}} \]

\[\cos(A) = \frac{85}{64\sqrt{6}} \]

Для обчислення кута А нам потрібно знайти обернену функцію косинусу (арккосинус). Використовуючи калькулятор арккосинусу, отримуємо:

\[A \approx 26.96^\circ\]

Таким чином, кут А в трикутнику АВС при заданих умовах становить приблизно 26.96 градусів.

Щодо кількості розв"язків цієї задачі, вона має лише один розв"язок. Трикутник ABC, що заданий умовами, є унікальним.