1. Як зміниться лінійна швидкість супутника, який рухався по коловій орбіті поблизу поверхні Землі, якщо він перейде

поблизу поверхні Землі, якщо він перейде на іншу колову орбіту, віддалену на h = R від поверхні?

Для розуміння цих питань нам знадобиться трохи фізики. Допустімо, що супутник рухається по коловій орбіті близько до поверхні Землі з лінійною швидкістю \( v \), періодом обертання \( T \), силою притягання до Землі \( F \) і кутовою швидкістю \( \omega \).

1. Щоб відповісти на перше питання про зміну лінійної швидкості супутника, коли він переходить на іншу колову орбіту віддалену на висоту \( h = R \) від поверхні, нам потрібно використовувати закон збереження механічної енергії. Енергія супутника на першій орбіті має бути рівною енергії на другій орбіті:

\[ E_1 = E_2 \]

На першій орбіті енергія супутника може бути виражена як:

\[ E_1 = \frac{1}{2} m v_1^2 - \frac{G M m}{R} \]

де \( m \) - маса супутника, \( v_1 \) - початкова лінійна швидкість, \( G \) - гравітаційна постійна, \( M \) - маса Землі та \( R \) - радіус орбіти.

На другій орбіті енергія супутника може бути виражена як:

\[ E_2 = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{G M m}{R+h} \]

де \( v_2 \) - нова лінійна швидкість, \( h \) - висота другої орбіти.

Розглядаючи обидві орбіти, отримуємо:

\[ \frac{1}{2} m v_1^2 - \frac{G M m}{R} = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{G M m}{R+h} \]

Ми хочемо знайти \( v_2 \), тому перенесемо відповідні терміни до одного боку рівняння:

\[ \frac{1}{2} m v_1^2 - \frac{G M m}{R} + \frac{G M m}{R+h} = \frac{1}{2} m v_2^2 \]

Підставляючи значення \( R+h = R+R = 2R \), спростимо рівняння:

\[ \frac{1}{2} m v_1^2 - \frac{G M m}{R} + \frac{G M m}{2R} = \frac{1}{2} m v_2^2 \]

Залишаючи тільки \( v_2 \) на одному боці, отримаємо наше остаточне рівняння:

\[ v_2 = \sqrt{v_1^2 + \frac{2G M}{R} - \frac{G M}{2R}} \]

Особливо важливо підкреслити, що це рівняння є наближенням для малих значень \( h \) порівняно з \( R \).

2. Для відповіді на друге питання про зміну періоду обертання супутника, коли він переходить на іншу колову орбіту віддалену на висоту \( h = R \) від поверхні, нам слід використовувати формулу для обчислення періоду колового руху. Період обертання може бути виражений як:

\[ T = \frac{2\pi R}{v} \]

де \( T \) - період обертання, \( R \) - радіус орбіти та \( v \) - лінійна швидкість супутника.

Зміна періоду обертання \( \Delta T \) може бути обчислена як різниця періодів на двох орбітах:

\[ \Delta T = T_2 - T_1 = \frac{2\pi (R+h)}{v_2} - \frac{2\pi R}{v_1} \]

Підставимо значення \( v_2 \) з попереднього питання:

\[ \Delta T = \frac{2\pi (R+h)}{\sqrt{v_1^2 + \frac{2G M}{R} - \frac{G M}{2R}}} - \frac{2\pi R}{v_1} \]

Після спрощення і скорочень отримаємо:

\[ \Delta T = \frac{2\pi R}{v_1} \left( \frac{R+h}{\sqrt{v_1^2 + \frac{2G M}{R} - \frac{G M}{2R}}} - 1 \right) \]

3. Для відповіді на третє питання про зміну сили притягання супутника до Землі, коли він переходить на іншу колову орбіту віддалену на висоту \( h = R \) від поверхні, ми повинні врахувати закон всесвітнього тяжіння. Сила притягування \( F \) може бути обчислена за формулою:

\[ F = \frac{G M m}{R^2} \]

де \( F \) - сила притягання, \( G \) - гравітаційна постійна, \( M \) - маса Землі, \( m \) - маса супутника і \( R \) - радіус орбіти.

Зміна сили притягання \( \Delta F \) може бути обчислена як різниця сил на двох орбітах:

\[ \Delta F = F_2 - F_1 = \frac{G M m}{(R+h)^2} - \frac{G M m}{R^2} \]

\[ = G M m \left( \frac{1}{(R+h)^2} - \frac{1}{R^2} \right) \]

\[ = G M m \left( \frac{R^2}{(R+h)^2 R^2} - \frac{(R+h)^2}{(R+h)^2 R^2} \right) \]

\[ = G M m \left( \frac{R^2 - (R+h)^2}{(R+h)^2 R^2} \right) \]

\[ = G M m \left( \frac{R^2 - (R^2 + 2Rh + h^2)}{(R+h)^2 R^2} \right) \]

\[ = G M m \left( \frac{- 2Rh - h^2}{(R+h)^2 R^2} \right) \]

\[ = - \frac{2G M m h}{(R+h)^2 R^2} \]

4. Нарешті, для відповіді на четверте питання про зміну кутової швидкості супутника, коли він переходить на іншу колову орбіту поблизу поверхні Землі, ми використовуємо збереження кутового моменту. Кутова швидкість \( \omega \) може бути виражена як:

\[ \omega = \frac{v}{R} \]

де \( \omega \) - кутова швидкість, \( v \) - лінійна швидкість супутника і \( R \) - радіус орбіти.

Зміна кутової швидкості \( \Delta \omega \) може бути обчислена як різниця кутових швидкостей на двох орбітах:

\[ \Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{v_2}{R+h} - \frac{v_1}{R} \]

Підставимо значення \( v_2 \) з першого питання:

\[ \Delta \omega = \frac{\sqrt{v_1^2 + \frac{2G M}{R} - \frac{G M}{2R}}}{R+h} - \frac{v_1}{R} \]

Після спрощення і скорочень отримаємо:

\[ \Delta \omega = \frac{\sqrt{v_1^2 + \frac{2G M}{R} - \frac{G M}{2R}}} {R+h} - \frac{v_1}{R} \]

Таким чином, ми надали докладні відповіді на поставлені питання про зміни лінійної швидкості, періоду обертання, сили притягання та кутової швидкості супутника при його переміщенні на іншу колову орбіту віддалену на висоту \( h = R \) від поверхні Землі. Надіюся, що відповіді були зрозумілими для школяра!