1. Why didn’t you let (him have) his own way? 2. The room was very crowded, so nobody noticed (Jimmy leaving) the room

Давайте разберем каждый вопрос по очереди:

1. Почему ты не разрешил (ему поступать) по-своему?
- Здесь использована конструкция "let someone have their own way", что означает "позволить кому-то поступать по-своему". Ответ на вопрос может быть обоснован следующим образом: Возможно, что "ты" (говорящий) не согласился с тем, чтобы "он" поступал по-своему, потому что это было неприемлемо, несоответствующе или неразумно в конкретной ситуации.

2. Комната была очень переполнена, поэтому никто не заметил, (как Джимми уходил) из комнаты.
- Здесь использовано причастие в качестве определения "leaving", которое указывает на действие Джимми - уход из комнаты (leaving the room). В условии сказано, что комната была переполнена, поэтому никто не внимал уходу Джимми.

3. Пусть (они делают) что хотят; мне все равно.
- В данном случае использована форма инфинитива "let someone do something", которая означает "позволить кому-то делать что-то". Говорящий заявляет, что ему все равно, что "они" будут делать, и позволяет им поступать по своему усмотрению.

4. Люди на платформе наблюдали, (как прибывает поезд) на станцию.
- Здесь используется герундий "the arrival of the train", который указывает на действие - прибытие поезда (the arrival of the train). Люди на платформе наблюдали за этим действием.

5. Корзина полна грязного белья. Ты (о