1. What is the value of Jupiter s horizontal parallax when it is at a distance of 6 AU from Earth? The horizontal

Задача 1. Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу для горизонтального параллакса:

$$p=\frac{r}{d}$$

где $p$ - горизонтальный параллакс, $r$ - радиус планеты (в данном случае, радиус Юпитера), $d$ - расстояние от Земли до Юпитера.

Мы знаем, что горизонтальный параллакс Солнца ($p_0$) равен 8".8 и задача состоит в том, чтобы найти горизонтальный параллакс Юпитера, когда он находится на расстоянии 6 астрономических единиц (АЕ) от Земли.

Для начала, нам нужно найти радиус Юпитера. Это можно сделать, зная, что на расстоянии 1 АЕ от Земли, горизонтальный параллакс Солнца ($p_0$) равен 8".8. Мы можем использовать эту информацию для расчета радиуса Юпитера следующим образом:

$$p_0=\frac{r}{1\text{ АЕ}}$$

Отсюда можно найти радиус Юпитера:

$$r=p_0\times 1\text{ АЕ}$$

$$r=8".8\times 1\text{ АЕ}$$

Теперь, когда у нас есть радиус Юпитера, мы можем найти горизонтальный параллакс Юпитера при расстоянии 6 АЕ от Земли, подставив значения в формулу:

$$p=\frac{r}{d}$$

$$p=\frac{8".8\times 1\text{ АЕ}}{6\text{ АЕ}}$$

$$p=\frac{8".8}{6}$$

$$p=1".47$$

Таким образом, горизонтальный параллакс Юпитера при расстоянии 6 астрономических единиц от Земли равен 1".47.

Задача 2. Для решения этой задачи нам нужно определить линейный радиус планеты Венера, используя известное ее минимальное расстояние от Земли (40 миллионов км) и угловой диаметр в этот момент (32".4).

Мы можем использовать формулу для углового диаметра и линейного радиуса:

$$D=2r\theta$$

где $D$ - угловой диаметр, $r$ - радиус планеты, $\theta$ - угол (в радианах).

Сначала переведем угловой диаметр из угловых секунд в радианы:

$$\theta =\frac{32".4}{3600}$$

Теперь, используя формулу для углового диаметра, мы можем найти линейный радиус планеты:

$$D=2r\theta$$

$$r=\frac{D}{2\theta }$$

$$r=\frac{40\times {10}^6\text{ км}}{2\times \frac{32".4}{3600}}$$

$$r=\frac{40\times {10}^6\text{ км}}{2\times \frac{32".4}{3600}}$$

$$r\approx 6054\text{ км}$$

Таким образом, линейный радиус планеты Венера составляет около 6054 км.

Задача 3. Для решения этой задачи нам понадобятся горизонтальный параллакс Луны ($p_0$), угловой радиус ($r_{л}$) и известное расстояние от Земли до Луны (выраженное в астрономических единицах).

Мы можем использовать формулу для горизонтального параллакса:

$$p=\frac{r}{d}$$

где $p$ - горизонтальный параллакс, $r$ - радиус Луны, $d$ - расстояние от Земли до Луны.

Известно, что горизонтальный параллакс Луны ($p_0$) равен 57"02".7. Также дан угловой радиус Луны ($r_{л}$) в момент времени этой задачи, который составляет 15"32".6.

Для начала найдем радиус Луны, используя угловой радиус:

$$r=\frac{r_{л}}{2}$$

$$r=\frac{15".32".6}{2}$$

$$r=7".66".3$$

Теперь, когда у нас есть радиус Луны, мы можем найти расстояние от Земли до Луны, используя формулу для горизонтального параллакса:

$$p_0=\frac{r}{d}$$

$$d=\frac{r}{p_0}$$

$$d=\frac{7".66".3}{57".02".7}$$

$$d\approx 60.27\text{ АЕ}$$

Теперь давайте найдем линейный радиус Луны, выраженный в радиусах Земли. Для этого нужно поделить радиус Луны на радиус Земли.

$$r_{з}=1\text{ радиус Земли}$$

$$\text{Double subscripts: use braces to clarify}$$

$$\text{Double subscripts: use braces to clarify}$$

$$\text{Double subscripts: use braces to clarify}$$

Таким образом, линейный радиус Луны, выраженный в радиусах Земли, составляет 7".66".3.

Чтобы найти площадь поверхности Луны, можно использовать формулу для площади поверхности сферы:

$$S=4\pi r^2$$

где $S$ - площадь поверхности, $r$ - радиус.

Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти площадь поверхности Луны и сравнить ее с площадью поверхности Земли:

$$S_{л}=4\pi r_{л}^2$$

$$S_{л}=4\pi (7".66".3{)}^2$$

$$S_{л}\approx 1840{\text{ радиусов Земли}}^2$$

$$S_{з}=4\pi r_{з}^2$$

$$S_{з}=4\pi \times 1^2$$

$$S_{з}=4\pi$$

Таким образом, площадь поверхности Луны составляет примерно 1840 раз больше площади поверхности Земли.

Чтобы найти объем Луны, мы можем использовать формулу для объема сферы:

$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$

где $V$ - объем, $r$ - радиус.

Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти объем Луны и сравнить его с объемом Земли:

$$V_{л}=\frac{4}{3}\pi r_{л}^3$$

$$V_{л}=\frac{4}{3}\pi (7".66".3{)}^3$$

$$V_{л}\approx 1658{\text{ радиусов Земли}}^3$$

$$V_{з}=\frac{4}{3}\pi r_{з}^3$$

$$V_{з}=\frac{4}{3}\pi \times 1^3$$

$$V_{з}=\frac{4}{3}\pi$$

Таким образом, объем Луны составляет примерно 1658 раз больше объема Земли.