1) What is the probability that the first occurrence of a heads in consecutive coin flips will be: a) on the third

Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку и решим их пошагово.

1) Вероятность появления герба на монете зависит только от вероятности выпадения герба или решки при однократном подбрасывании монеты. Пусть вероятность появления герба равна \(p\) и вероятность появления решки равна \(q\), где \(q = 1 - p\).

a) Чтобы герб выпал на третьем подбрасывании, необходимо, чтобы первые два подбрасывания окончились решкой, а третье - гербом. Вероятность появления решки в одном подбрасывании равна \(q\), поэтому вероятность события "герб выпал на третьем подбрасывании" можно вычислить следующим образом:

\[
P(\text{{герб на третьем подбрасывании}}) = q \cdot q \cdot p = q^2 \cdot p
\]

b) Чтобы герб выпал на втором или четвёртом подбрасывании, необходимо, чтобы первое подбрасывание окончилось решкой, а второе или третье - гербом. Вероятность события "герб выпал на втором или четвёртом подбрасывании" можно вычислить сложив вероятности каждого случая:

\[
P(\text{{герб на втором или четвёртом подбрасывании}}) = q \cdot p + q \cdot q \cdot p = q \cdot p \cdot (1 + q) = q \cdot p \cdot (1 + (1 - p)) = q \cdot p \cdot (2 - p)
\]

2) Правила подбрасывания игральной кости не зависят от предыдущих результатов. Вероятность выпадения чисел 5 или 6 равна \(p_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), а вероятность выпадения любого другого числа равна \(q_1 = 1 - p_1 = \frac{2}{3}\).

a) Вероятность того, что событие "появится 5 или 6 с первого подбрасывания" произойдёт на первом подбрасывании, равна вероятности выпадения 5 или 6:

\[
P(\text{{5 или 6 на первом подбрасывании}}) = p_1 = \frac{1}{3}
\]

b) Чтобы понять вероятность того, что событие "появится 5 или 6 с первого подбрасывания" произойдёт на четвёртом подбрасывании, мы должны представить, что событие до сих пор не произошло в первых трёх подбрасываниях. Вероятность этого равна вероятности появления не-5 и не-6 в первых трёх подбрасываниях:

\[
P(\text{{сначала не-5 и не-6}}) = q_1 \cdot q_1 \cdot q_1 = q_1^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}
\]

Таким образом, вероятность появления 5 или 6 на четвёртом подбрасывании равна:

\[
P(\text{{5 или 6 на четвёртом подбрасывании}}) = 1 - P(\text{{сначала не-5 и не-6}}) = 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}
\]

3) В данной задаче мы рассматриваем серию независимых испытаний, в которых происходит подбрасывание монеты (или другого события) до появления первого успеха. Пусть вероятность успеха в каждом испытании равна \(p\), а вероятность неудачи (или фейла) равна \(q = 1 - p\).

Вероятность того, что первый успех произойдёт на \(n\)-ом испытании, можно вычислить следующим образом. На первых \(n-1\) испытаниях произошли \(n-1\) неудач:

\[
P(\text{{первый успех на }} n \text{{-ом испытании}}) = q^{n-1} \cdot p
\]

Данное выражение указывает, что на \(n-1\) испытании должны произойти все неудачи (с вероятностью \(q^{n-1}\)), а на \(n\) испытании должен случиться успех (с вероятностью \(p\)).

Таким образом, мы рассмотрели задачи о вероятности выпадения герба на определенном подбрасывании, выпадении чисел 5 или 6 при бросании игральной кости, а также вероятность возникновения первого успеха в серии независимых испытаний.