1. What is the mass of Jupiter if its moon, which is located 422,000 km away from Jupiter, has an orbital period

Задача 1:
Для решения этой задачи, мы можем использовать законы Кеплера, которые описывают движение небесных тел. Закон Кеплера гласит, что квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу большой полуоси орбиты. Таким образом, мы можем использовать этот закон для нахождения массы Юпитера.

Период обращения спутника можно записать следующим образом:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G \cdot M}}\]
где \(T\) - период обращения спутника, \(a\) - расстояние от спутника до Юпитера, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Юпитера.

Сначала переведем период обращения спутника в секунды:
\[T = 1.77 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 \, \text{сек}\]

Заменим известные значения в формуле и решим ее относительно \(M\):
\[M = \frac{4\pi^2 \cdot a^3}{G \cdot T^2}\]

Теперь можем подставить значения и вычислить массу Юпитера. Расстояние от Юпитера до его спутника составляет \(a = 422,000 \, \text{км}\). Гравитационная постоянная \(G = 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\).
\[\begin{align*}
M &= \frac{4\pi^2 \cdot (422,000,000 \, \text{м})^3}{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2) \cdot (1.77 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 \, \text{сек})^2}\\
M &\approx 1.88 \times 10^{27} \, \text{кг}
\end{align*}\]

Таким образом, масса Юпитера составляет приблизительно \(1.88 \times 10^{27}\) кг.

Теперь сравним данное значение с массой Земли и Луны. Масса Земли составляет \(5.972 \times 10^{24}\) кг, а масса Луны составляет \(7.347 \times 10^{22}\) кг. Масса Юпитера значительно превосходит массу Земли и Луны.

Задача 2:
Для решения задачи, нам понадобится использовать формулу для скорости покидания планеты (escape velocity):
\[v_{escape} = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\]
где \(v_{escape}\) - скорость покидания планеты, \(g\) - ускорение свободного падения на планете, \(h\) - радиус планеты.

Для Марса, ускорение свободного падения составляет \(g = 3.7 \, \text{м/с}^2\). Чтобы найти радиус Марса (\(h\)), нам потребуется дополнительная информация.

Для Юпитера, ускорение свободного падения составляет \(g = 25 \, \text{м/с}^2\). Аналогично, нам необходим радиус Юпитера.

Задача 3:
Для определения времени, за которое космический корабль достигнет Марса, нам требуется информация о скорости космического корабля и информация о форме его орбиты.

Однако, в задаче предоставлена только полуось эллиптической орбиты (\(a = 1.25\)), что недостаточно для точного расчета времени.

Если вы предоставите дополнительные данные, например, эксцентриситет орбиты и начальное положение космического корабля, я смогу помочь вам с расчетом времени, необходимого для достижения Марса.