1) What are the guaranteed true statements regarding the circle ω that touches the circle ω internally at point

Хорошо, давайте посмотрим, какие из утверждений являются верными.

1) Утверждение ∠ABM = ∠BCM верно. Поскольку точка C является точкой касания внутренней окружности ω, то угол BCM является углом между хордой AB и касательной к окружности ω в точке C. Также, угол ABM является закраснением угла BCM. Для внутренней точки касания и хорды, такие углы всегда равны.

2) Утверждение "Окружность, описанная около треугольника ACD, касается линии AM" не всегда будет верным. Это утверждение зависит от конкретного положения точек A, C и D. Вообще говоря, окружности, описанные около треугольников, не обязательно касаются сторон треугольников. Так что это утверждение нельзя считать гарантированно истинным.

3) Утверждение "Окружность, описанная около треугольника ADM, касается линии AC" также не всегда будет верным. Фактически, описанная окружность может не касаться сторон треугольника ADM. Поэтому данное утверждение нельзя считать гарантированно истинным.

4) Утверждение "Окружность, описанная около треугольника MBD, касается линии BC" также не всегда будет верным. Расположение точек M, B и D будет определять, будет ли окружность, описанная около треугольника MBD, касаться стороны BC. Поэтому это утверждение нельзя считать гарантированно истинным.

5) Утверждение "Окружность, описанная около треугольника BCD, касается линии BM" снова не всегда будет верным. Положение точек B, C и D будет определять, будет ли окружность, описанная около треугольника BCD, касаться стороны BM. Поэтому это утверждение также нельзя считать гарантированно истинным.

6) Утверждение "Окружности, описанные около треугольников ACD и BDM, пересекаются" зависит от взаимного расположения окружностей и треугольников. В общем случае, окружности, описанные около различных треугольников, могут не пересекаться. Таким образом, это утверждение также нельзя считать гарантированно истинным.

7) Утверждение "CM является биссектрисой угла ACB" верно. Поскольку точка C является точкой касания внутренней окружности ω, угол ACB является половинным углом между хордой AB и касательной к окружности ω в точке C. Следовательно, линия CM будет биссектрисой угла ACB.

8) Утверждение "MC является биссектрисой угла CDM" можно взять как верное. Это следует из факта, что точка M является точкой касания внутренней окружности ω, и угол CDM является половинным углом между хордой AB и касательной к окружности ω в точке D.

Вот гарантированные истинные утверждения, которые можно сделать относительно окружности ω, касающейся внутренней окружности ω в точке C и хорды AB в точке D:

- ∠ABM = ∠BCM
- CM является биссектрисой угла ACB
- MC является биссектрисой угла CDM