1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, сторона AB равна 13 см, сторона AC равна 5 см. Найдите: 1) значение синуса угла

AB в отношении 2:3. Если сторона AB равна 12 см, найдите длину высоты BD и длину стороны AC.

Задача 1:
Дано: АС = 5 см, ВС = 13 см.
Так как угол C равен 90°, треугольник ABC является прямоугольным треугольником. Для решения задачи мы можем использовать теорему Пифагора и соответствующие формулы для определения значений тригонометрических функций.

a) Найдем значение синуса угла B. Для этого нужно поделить противоположную сторону (BC) на гипотенузу (AB).
\[ \sin(B) = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{13}}{{\sqrt{{13^2 + 5^2}}}} = \frac{{13}}{{\sqrt{{169 + 25}}}} = \frac{{13}}{{\sqrt{{194}}}} \]

b) Найдем значение тангенса угла A. Для этого нужно поделить противоположную сторону (AC) на прилежащую сторону (BC).
\[ \tan(A) = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{5}}{{13}} \]

Задача 2:
Дано: BC = 6 см, значение косинуса угла B.

Найдем значение гипотенузы треугольника ABC. Для этого мы можем использовать соответствующую формулу косинуса.
\[ \cos(B) = \frac{{BC}}{{AB}} \]
\[ AB = \frac{{BC}}{{\cos(B)}} = \frac{{6}}{{\cos(B)}} \]

Задача 3:
Найдите численное значение выражения \( \sin^2 37° + \cos^2 37° - \sin^2 45° \).

Для этой задачи нам нужно знать значения тригонометрических функций для заданных углов. Заметим, что \( \sin^2 45° = \frac{{1}}{{2}} \) и \( \cos^2 45° = \frac{{1}}{{2}} \). Теперь мы можем вычислить выражение:
\[ \sin^2 37° + \cos^2 37° - \sin^2 45° = \sin^2 37° + \cos^2 37° - \frac{{1}}{{2}} \]

Задача 4:
Дано: AB = CD = 6 см, BC = 8 см, AD = 12 см.

Так как AB и CD равны, а BC и AD также равны, треугольник ABCD является равнобедренной трапецией. Для нахождения значений тригонометрических функций угла A трапеции, нам нужно знать отношения сторон треугольника или высоту треугольника.

Задача 5:
Дано: Высота BD треугольника ABC делит сторону AB в отношении 2:3, AB = 12 см.

Если высота BD делит сторону AB в отношении 2:3, то можно найти длину стороны AD, BC и длину высоты BD.

Для решения задачи мы можем использовать соотношение между подобными треугольниками:
\[\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}\]

Так как BD делит AB в отношении 2:3, то BD = \(\frac{{2}}{{5}}\) * AB
BD = \(\frac{{2}}{{5}}\) * 12 см = 4,8 см

Чтобы найти длину стороны AC, мы можем использовать теорему Пифагора:
\(AC^2 = AB^2 - BC^2\)
\(AC^2 = 12^2 - 8^2\)
\(AC^2 = 144 - 64\)
\(AC^2 = 80\)
\(AC = \sqrt{80}\) см

Пожалуйста, обратите внимание, что ответы округлены до одного десятичного знака, если не указано иное. Надеюсь, эти объяснения помогут вам понять решения задач. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!