1) В треугольнике ABC с равными сторонами AB=BC=4 и стороной AC=2, высота BH пересекает второй раз вписанную окружность

Задача 1:
Для решения этой задачи воспользуемся свойством треугольника, что высота, проведенная к основанию, делит его на два подобных треугольника. Также, используя свойства вписанного угла и хорды, мы установим отношение длин отрезков BK и KH.

Пусть центр вписанной окружности треугольника ABC обозначается как O, а точка пересечения высоты BH с второй окружностью - как К.

Разберемся с подобными треугольниками. Треугольник ABH подобен треугольнику CKH по двум углам, так как у них есть два одинаковых угла: угол A и угол HCK. Также, стороны треугольников пропорциональны.

Мы знаем, что стороны треугольника ABC равны: AB = BC = 4, а сторона AC = 2.

Поскольку стороны треугольников пропорциональны, мы можем записать следующее равенство:

\(\frac{{AB}}{{CH}} = \frac{{BC}}{{KH}}\)

Подставляя известные значения, получим:

\(\frac{{4}}{{CH}} = \frac{{4}}{{KH}}\)

Замечаем, что сторона AB равна стороне BC, следовательно, CH = KH.

Теперь нам известно, что KH = CH. Для отношения длины отрезков BK и KH выпишем свойство треугольника:

\(\frac{{BK}}{{KH + BH}} = \frac{{BK}}{{KH + KH}} = \frac{{BK}}{{2 \cdot KH}} = \frac{{BK}}{{2 \cdot CH}}\)

Используя равенство CH = KH, получим:

\(\frac{{BK}}{{2 \cdot CH}} = \frac{{BK}}{{2 \cdot KH}} = \frac{{BK}}{{2 \cdot 4}} = \frac{{BK}}{{8}}\)

Итак, отношение длины отрезков BK и KH равно 1:8.

Задача 2:
Чтобы найти площадь треугольника RAK, мы можем воспользоваться понятием доли треугольника. Доли треугольника образуются точками, от которых проведены медианы.

Пусть точка, в которой медиана RT пересекает медиану ES, обозначается как P.

Так как RP делит медиану ES в отношении 2:3, точка P делит медиану ES на отрезки EP и PS так, что EP : PS = 2:3.

Аналогично, точка O делит медиану TS в отношении 3:2, поэтому точка O делит медиану TS на отрезки OT и TS так, что OT : TS = 3:2.

А также точка A делит медиану RE в отношении 4:1, значит делит медиану на отрезки AE и ER так, что AE : ER = 4:1.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника RAK, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника через медианы:

\(\text{{Площадь}}\, \triangle RAK = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \text{{Площадь}}\, \triangle RES = \frac{8}{15} \cdot \text{{Площадь}}\, \triangle RES\)

Поскольку площадь треугольника ROK равна 100, и треугольник ROK и треугольник RAK имеют общую высоту (так как К - точка пересечения медиан), общую сторону (сторону RK) и эти стороны пропорциональны, то мы можем сделать вывод, что площадь треугольника RAK также равна 100, умноженная на \(\frac{8}{15}\).

Итак, площадь треугольника RAK равна:

\(\text{{Площадь}}\, \triangle RAK = \frac{8}{15} \cdot 100 = \frac{800}{15} = \frac{160}{3}\) (или около 53.33)