1. В прямоугольном треугольнике СОК, если угол О равен 90° и угол С равен 30°, то какова длина гипотенузы СК, если

1. Задача: В прямоугольном треугольнике СОК, если угол О равен 90° и угол С равен 30°, то какова длина гипотенузы СК, если длина катета ОК равна 7,6 см?

Решение: В прямоугольном треугольнике гипотенуза \(СК\) является наибольшей стороной, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора. Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Мы знаем, что один из углов треугольника равен 90°, поэтому гипотенуза \(СК\) - это сторона, напротив прямого угла. Катет \(ОК\) - это сторона, прилегающая к углу 30°.

Можем записать уравнение по теореме Пифагора:
\[СК^2 = ОК^2 + СО^2\]

Подставляем известные значения и решаем уравнение:
\[СК^2 = 7,6^2 + ОК^2\]
\[СК^2 = 57,76 + ОК^2\]

Теперь нам нужно найти значение \(СК^2\). Для этого мы можем использовать тригонометрические отношения в прямоугольнике треугольнике, так как у нас есть угол 30°.

Тангенс угла 30° равен отношению противолежащего катета (\(ОК\)) к прилежащему катету (\(СО\)). Мы можем записать эту зависимость как:
\[\tan(30°) = \frac{ОК}{СО}\]

Мы знаем значение угла 30° и длину катета \(ОК\), поэтому можем найти длину катета \(СО\):
\[\tan(30°) = \frac{ОК}{СО}\]
\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{7,6}{СО}\]
\[СО = \frac{7,6}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\]
\[СО = 7,6 \cdot \sqrt{3}\]
\[СО \approx 7,6 \cdot 1.732 = 13,1392 \text{ см}\]

Теперь, когда у нас есть значения длины катета \(СО\) и длины катета \(ОК\), мы можем найти значение квадрата длины гипотенузы \(СК\):
\[СК^2 = 57,76 + ОК^2\]
\[СК^2 = 57,76 + 7,6^2\]
\[СК^2 = 57,76 + 57,76\]
\[СК^2 = 115,52\]

Извлекаем квадратный корень с обеих сторон, чтобы найти длину гипотенузы \(СК\):
\[СК = \sqrt{115,52}\]
\[СК \approx 10,7534 \text{ см}\]

Таким образом, длина гипотенузы \(СК\) примерно равна 10,7534 см.

2. Задача: Для равнобедренного треугольника с углом в вершине, равным 120°, и высотой, проведенной к боковой стороне, равной 5 см, какова длина основания?

Решение: Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла. В данной задаче у нас есть угол в вершине, равный 120°, и известная высота, проведенная к боковой стороне.

Поскольку треугольник равнобедренный, высота также является медианой и биссектрисой. Мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника, чтобы найти длину основания.

В равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию высота (медиана и биссектриса) делит основание на две равные части. Таким образом, мы можем представить основание треугольника как две равные части, каждая из которых равна \(a\).

Теперь, чтобы найти длину основания треугольника, мы можем использовать тригонометрические отношения с углом 60° (так как сумма углов треугольника равна 180°).

Тангенс угла 60° равен отношению противолежащей стороны (высоты) к прилежащей стороне (половине основания). Мы можем записать эту зависимость как:
\[\tan(60°) = \frac{высота}{\frac{a}{2}}\]

Известное значение угла 60° и высоты позволяют нам найти длину основания:
\[\tan(60°) = \frac{высота}{\frac{a}{2}}\]
\[\sqrt{3} = \frac{5}{\frac{a}{2}}\]
\[\frac{2 \cdot \sqrt{3}}{5} = \frac{a}{2}\]
\[a = \frac{10 \cdot \sqrt{3}}{2}\]
\[a = 5 \cdot \sqrt{3}\]
\[a \approx 8,6603 \text{ см}\]

Таким образом, длина основания равнобедренного треугольника примерно равна 8,6603 см.

3. Задача: В прямоугольном треугольнике, один из углов которого равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 36 см, какова длина гипотенузы?

Решение: В прямоугольном треугольнике угол 60° является углом, противолежащим наибольшей стороне - гипотенузе.

Мы знаем, что сумма гипотенузы и одного из катетов равна 36 см. Так как этот катет меньше гипотенузы, мы можем обозначить его как \(x\).

Теперь, чтобы найти длину гипотенузы, мы можем использовать теорему Пифагора. Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Мы можем записать уравнение по теореме Пифагора:
\[гипотенуза^2 = гипотенуза^2 + катет^2\]

Подставляем известные значения и решаем уравнение:
\[гипотенуза^2 = (x + гипотенуза)^2 + x^2\]
\[гипотенуза^2 = x^2 + 2xгипотенуза + гипотенуза^2 + x^2\]
\[0 = 2xгипотенуза + 2x^2\]
\[2xгипотенуза = -2x^2\]
\[гипотенуза = -x\]

Мы видим, что катет \(x\) отрицателен, что не имеет физического смысла. Это означает, что у нас нет решения для данной задачи.

Таким образом, длина гипотенузы не может быть определена для данного прямоугольного треугольника с заданными условиями.