1) В какой системе счисления происходит равенство 13x · 31x = 423x? Укажите основание системы счисления. 2) Значение

1) Чтобы решить данную задачу, мы должны понять, в какой системе счисления происходит равенство 13x · 31x = 423x. Для этого воспользуемся основными правилами работы с системами счисления.

Предположим, что основание системы счисления равно n. Тогда число 13x в десятичной системе можно записать как \(1 \cdot n + 3\), а число 31x в десятичной системе можно записать как \(3 \cdot n + 1\). Таким образом, уравнение 13x · 31x = 423x можно записать следующим образом:

\((1 \cdot n + 3) \cdot (3 \cdot n + 1) = 4 \cdot n^2 + 2 \cdot n + 3\)

Далее нам нужно решить это уравнение. Раскроем скобки:

\(3n^2 + n + 9n + 3 = 4n^2 + 2n + 3\)

Упростим:

\(3n^2 + 10n + 3 = 4n^2 + 2n + 3\)

Вычтем из обеих частей уравнения \(4n^2 + 2n + 3\):

\((3n^2 + 10n + 3) - (4n^2 + 2n + 3) = 0\)

Раскроем скобки и упростим:

\(3n^2 + 10n + 3 - 4n^2 - 2n - 3 = 0\)

\(n^2 + 8n = 0\)

Теперь мы можем решить это уравнение. Вынесем общий множитель:

\(n(n + 8) = 0\)

Таким образом, получаем два возможных значения для основания системы счисления: n = 0 и n = -8. Однако основание системы счисления не может быть отрицательным, поэтому ответом будет n = 0.

Ответ: Равенство 13x · 31x = 423x происходит в системе счисления с основанием 0.

2) Чтобы найти сумму цифр в записи арифметического выражения \(9^8 + 3^{25} - 14\) в системе счисления с основанием 3, нам нужно вычислить значение данного выражения в десятичной системе и просуммировать все его цифры.

Выполним вычисления:

\(9^8 + 3^{25} - 14 = 43046721 + 847288609443 + (-14)\)

\(= 847331656150\)

Теперь переведем данное число в троичную систему счисления. Для этого разделим число на основание системы (3) и запишем остатки в обратном порядке. Продолжаем делить, пока результат деления не станет меньше основания системы.

\(847331656150 : 3 = 282443885383\) (остаток 1)
\(282443885383 : 3 = 94147961794\) (остаток 2)
\(94147961794 : 3 = 31382653931\) (остаток 1)
\(31382653931 : 3 = 10460884643\) (остаток 2)
\(10460884643 : 3 = 3486961547\) (остаток 1)
\(3486961547 : 3 = 1162320515\) (остаток 2)
\(1162320515 : 3 = 387440171\) (остаток 1)
\(387440171 : 3 = 129146723\) (остаток 2)
\(129146723 : 3 = 43048907\) (остаток 2)
\(43048907 : 3 = 14349635\) (остаток 2)
\(14349635 : 3 = 4783211\) (остаток 2)
\(4783211 : 3 = 1594403\) (остаток 2)
\(1594403 : 3 = 531467\) (остаток 1)
\(531467 : 3 = 177155\) (остаток 1)
\(177155 : 3 = 59051\) (остаток 2)
\(59051 : 3 = 19683\) (остаток 2)
\(19683 : 3 = 6561\) (остаток 0)
\(6561 : 3 = 2187\) (остаток 0)
\(2187 : 3 = 729\) (остаток 0)
\(729 : 3 = 243\) (остаток 0)
\(243 : 3 = 81\) (остаток 0)
\(81 : 3 = 27\) (остаток 0)
\(27 : 3 = 9\) (остаток 0)
\(9 : 3 = 3\) (остаток 0)
\(3 : 3 = 1\) (остаток 0)
\(1 : 3 = 0\) (остаток 1)

Таким образом, получаем запись числа 847331656150 в троичной системе счисления: 1002221110021112001112010011221221101120.

Чтобы найти сумму цифр в данной записи, сложим все числа:

\(1 + 0 + 0 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 0 = 34\)

Ответ: Сумма цифр в записи арифметического выражения \(9^8 + 3^{25} - 14\) в системе счисления с основанием 3 равна 34.

3) Пожалуйста, уточните, какую задачу вы хотите решить путем записи решения с пошаговым объяснением. Укажите условие задачи, и я с радостью помогу вам.