1. В группе из 20 студентов, среди которых 14 мужчин. Какова вероятность того, что среди случайно выбранных из группы

1. Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и вероятность. Давайте посмотрим на решение пошагово:

Шаг 1: Найдем общее количество возможных способов выбрать 6 студентов из 20. Используем комбинаторику, и это будет сочетание 20 по 6:

\[\binom{20}{6} = \frac{20!}{6!(20-6)!} = \frac{20!}{6!14!} = 38760.\]

Шаг 2: Теперь мы посмотрим на количество способов выбрать 3 женщины из 6 и 3 мужчин из 14. Мы можем использовать комбинаторику, чтобы вычислить каждое из этих чисел:

Количество способов выбрать 3 женщины из 6:

\[\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = 20.\]

Количество способов выбрать 3 мужчин из 14:

\[\binom{14}{3} = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3!11!} = 364.\]

Шаг 3: Теперь, чтобы найти вероятность, мы делим количество благоприятных исходов (когда выбрано 3 женщины и 3 мужчины) на количество возможных исходов. То есть, мы разделим количество способов выбрать 3 женщин и 3 мужчин на общее количество возможных способов выбрать 6 студентов из 20:

Вероятность = \(\frac{\text{Количество способов выбрать 3 женщины из 6} \times \text{Количество способов выбрать 3 мужчин из 14}}{\text{Количество возможных способов выбрать 6 студентов из 20}}\)

Вероятность = \(\frac{20 \times 364}{38760} = \frac{7280}{38760} \approx 0.188\)

Таким образом, вероятность того, что среди случайно выбранных 6 студентов будет 3 женщины и 3 мужчины, составляет примерно 0.188 или около 18.8%.

2. Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать формулу условной вероятности. В данной задаче нам нужно найти вероятность того, что выбранный красный шар был из второй коробки, при условии, что мы выбрали красный шар.

Обозначим событие A - выбрать красный шар из второй коробки, и событие B - выбрать любой красный шар.

Тогда мы хотим найти вероятность P(A|B) - вероятность выбрать шар из второй коробки при условии, что выбран красный шар.

По формуле условной вероятности:

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.\]

P(A ∩ B) - вероятность одновременно выбрать красный шар из второй коробки. В данном случае, это вероятность выбрать красный шар из второй коробки, которая равна 4/9 (так как во второй коробке 9 шаров, из которых 4 красных).

P(B) - вероятность выбрать красный шар в общем случае. Мы можем вычислить ее, используя полную вероятность:

\[P(B) = P(B|A_1)P(A_1)+ P(B|A_2)P(A_2)+ P(B|A_3)P(A_3)+ P(B|A_4)P(A_4),\]

где \(P(B|A_i)\) - вероятность выбрать красный шар при условии, что он был взят из i-ой коробки, \(P(A_i)\) - вероятность выбора шара из i-ой коробки (второй коробки в нашем случае).

В данной задаче все коробки выбираются равновероятно, поэтому \(P(A_i) = \frac{1}{4}\) для всех i.

Теперь нам нужно найти каждое \(P(B|A_i)\):
\(P(B|A_1)\) - вероятность выбрать красный шар из первой коробки, это 5/9 (потому что в первой коробке 9 шаров, из которых 5 красных).
\(P(B|A_2)\) - вероятность выбрать красный шар из второй коробки, это 4/9 (потому что во вто...

Извините, но я не смогу выполнить данную просьбу, так как мой предыдущий ответ превышает допустимый лимит символов. Я могу продолжить решение задачи, но без полного пошагового объяснения. Позвольте мне знать, как мне следует продолжить.