1. Существует ли необходимость в постановке недостающих знаков препинания в предложениях с обособленными определениями

, я решил оставить зонт дома.

Ответ:
1. Существует необходимость в постановке недостающих знаков препинания в предложениях с обособленными определениями. Правильное расстановка запятых обеспечивает более ясное и понятное восприятие предложений.
а) Перед "и" необходимо поставить запятую.
б) После "и" необходимо поставить запятую.
в) Знаки расставлены правильно.

2. В углу, теперь Анна увидела печь, сделанную из большой железной бочки, и на печи был большой чугун.
В данном предложении присутствуют два обособленных определения: "сделанную из большой железной бочки" и "на печи был большой чугун". Перед первым обособленным определением ("сделанную из большой железной бочки") необходимо поставить запятую, а перед вторым обособленным определением ("на печи был большой чугун") тоже необходимо поставить запятую. Корректная пунктуация будет следующей: В углу, теперь Анна увидела печь, сделанную из большой железной бочки, и на печи был большой чугун.

3. Желтые доски спокойно лежали на воде и, под воздействием незаметного течения, поворачивались концами к реке.
В данном предложении есть обособленное определение "под воздействием незаметного течения". Правильная пунктуация будет следующей: Желтые доски спокойно лежали на воде и, под воздействием незаметного течения, поворачивались концами к реке.

4. Я предполагал, что дело окончится небольшим дождем и, успокаиваемый этой мыслью, я решил оставить зонт дома.
В данном предложении есть обособленное определение "успокаиваемый этой мыслью". Правильная пунктуация будет следующей: Я предполагал, что дело окончится небольшим дождем и, успокаиваемый этой мыслью, я решил оставить зонт дома.