1. Сколько вариантов записи пятизначных чисел с использованием цифр 4 и 2 существует и как можно объяснить это решение?

1. Чтобы определить количество вариантов записи пятизначных чисел с использованием цифр 4 и 2, можно воспользоваться комбинаторикой. В данном случае, каждая позиция числа может быть заполнена только цифрой 4 или 2. Таким образом, для первой позиции у нас есть 2 возможных варианта (4 или 2), для второй позиции также 2 варианта, и так далее. Так как нам нужно определить количество вариантов записи пятизначных чисел, у нас будет 5 позиций, и каждая из них может быть заполнена 2-мя возможными цифрами.

Чтобы найти общее количество вариантов, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции. В данном случае, это будет \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32\). Таким образом, существует 32 различных вариантов записи пятизначных чисел с использованием цифр 4 и 2.

2. В языке "амба-карамба", где алфавит состоит из 5 букв, нужно определить количество различных четырехбуквенных слов, которые можно образовать.

Каждая позиция в слове может быть заполнена одной из 5 букв. Поскольку слово имеет 4 позиции, мы можем использовать правило умножения для определения общего количество вариантов.

Таким образом, общее количество вариантов равно \(5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625\) различных четырехбуквенных слов, которые можно образовать в языке "амба-карамба".

3. В языке племени "тумба-юмба" допускаются только четырехбуквенные слова, которые могут быть образованы из букв алфавита в любой комбинации. Известно, что словарный запас данного языка составляет 81 слово. Нам нужно определить размер алфавита и объяснить это решение.

Чтобы найти размер алфавита, нам нужно найти количество различных символов, которые могут быть использованы в составе слов языка "тумба-юмба".

Мы знаем, что количество слов в словаре составляет 81. Так как каждое слово имеет 4 буквы, общее количество возможных комбинаций букв должно равняться 81. Если мы предположим, что размер алфавита составляет \(n\), тогда общее количество комбинаций будет равно \(n \times n \times n \times n = n^4\).

Теперь мы должны найти значение \(n\), которое удовлетворяет уравнению \(n^4 = 81\). Чтобы найти корень четвертой степени из 81, мы можем возвести 81 в степень \(\frac{1}{4}\).

Таким образом, \(n = \sqrt[4]{81} = 3\). Исходя из этого решения, размер алфавита в языке "тумба-юмба" составляет 3.

4. В некотором языке все слова имеют