1) Сколько вариантов решения имеет данная система уравнений? x+5y+4z+3w=1; 2x-y+2z-w=0; 5x+3y+8z+w=1; 2x+10y+8z+6w=2

Решим первую задачу. У нас дана система уравнений:

\[
\begin{align*}
x+5y+4z+3w&=1 \\
2x-y+2z-w&=0 \\
5x+3y+8z+w&=1 \\
2x+10y+8z+6w&=2 \\
\end{align*}
\]

Для того чтобы определить количество решений в этой системе, нам нужно проанализировать матрицу коэффициентов и расширенную матрицу системы.

Составим расширенную матрицу системы:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 5 & 4 & 3 & | & 1 \\
2 & -1 & 2 & -1 & | & 0 \\
5 & 3 & 8 & 1 & | & 1 \\
2 & 10 & 8 & 6 & | & 2 \\
\end{bmatrix}
\]

Применим элементарные преобразования для приведения матрицы к ступенчатому виду:

1) Вычтем из 2 строки первую, умноженную на 2:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 5 & 4 & 3 & | & 1 \\
0 & -11 & -6 & -7 & | & -2 \\
5 & 3 & 8 & 1 & | & 1 \\
2 & 10 & 8 & 6 & | & 2 \\
\end{bmatrix}
\]

2) Вычтем из 3 строки первую, умноженную на 5:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 5 & 4 & 3 & | & 1 \\
0 & -11 & -6 & -7 & | & -2 \\
0 & -22 & -12 & -14 & | & -4 \\
2 & 10 & 8 & 6 & | & 2 \\
\end{bmatrix}
\]

3) Вычтем из 4 строки первую, умноженную на 2:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 5 & 4 & 3 & | & 1 \\
0 & -11 & -6 & -7 & | & -2 \\
0 & -22 & -12 & -14 & | & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

Теперь приведем матрицу к улучшенному ступенчатому виду:

1) Поделим 2 строку на -11:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 5 & 4 & 3 & | & 1 \\
0 & 1 & 6/11 & 7/11 & | & 2/11 \\
0 & -22 & -12 & -14 & | & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

2) Вычтем из 1 строки 5 строку, умноженную на 5:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 5 & 4 & 3 & | & 1 \\
0 & 1 & 6/11 & 7/11 & | & 2/11 \\
0 & -22 & -12 & -14 & | & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

3) Вычтем из 3 строки 22 строку:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 5 & 4 & 3 & | & 1 \\
0 & 1 & 6/11 & 7/11 & | & 2/11 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

Теперь у нас есть ступенчатая матрица. Посчитаем количество главных (ведущих) переменных. Главные переменные - это переменные, стоящие перед ведущими элементами ступенчатой матрицы. В данном случае у нас есть 2 главные переменные (x и y), поскольку эти переменные стоят перед ведущими элементами в первой и второй строке.

Также посчитаем количество свободных переменных (не главных). В данном случае у нас есть 2 свободные переменные (z и w), поскольку их значения не ограничены и могут иметь произвольные значения.

Таким образом, у системы уравнений данной задачи бесконечное количество решений.

Ответ: b. Бесконечное количество решений.

Перейдем ко второй задаче. У нас дана система уравнений:

\[
\begin{align*}
2x+y+z&=2 \\
x+y+3z&=6 \\
2x+y+2z&=5 \\
\end{align*}
\]

Для определения решений воспользуемся методом Гаусса и приведем систему к ступенчатому виду:

\[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 & | & 2 \\
1 & 1 & 3 & | & 6 \\
2 & 1 & 2 & | & 5 \\
\end{bmatrix}
\]

1) Вычтем из 2 строки первую:

\[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 & | & 2 \\
-1 & 0 & 2 & | & 4 \\
2 & 1 & 2 & | & 5 \\
\end{bmatrix}
\]

2) Вычтем из 3 строки первую, умноженную на 2:

\[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 & | & 2 \\
-1 & 0 & 2 & | & 4 \\
0 & -1 & 0 & | & 1 \\
\end{bmatrix}
\]

3) Поменяем местами 2 и 3 строки:

\[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 & | & 2 \\
0 & -1 & 0 & | & 1 \\
-1 & 0 & 2 & | & 4 \\
\end{bmatrix}
\]

4) Умножим 2 строку на -1:

\[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 & | & 2 \\
0 & 1 & 0 & | & -1 \\
-1 & 0 & 2 & | & 4 \\
\end{bmatrix}
\]

5) Вычтем из 1 строки 2 строку:

\[
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 1 & | & 3 \\
0 & 1 & 0 & | & -1 \\
-1 & 0 & 2 & | & 4 \\
\end{bmatrix}
\]

6) Вычтем из 3 строки половину 1 строки:

\[
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 1 & | & 3 \\
0 & 1 & 0 & | & -1 \\
0 & 0 & 3/2 & | & 5/2 \\
\end{bmatrix}
\]

7) Поделим 3 строку на \(\frac{3}{2}\):

\[
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 1 & | & 3 \\
0 & 1 & 0 & | & -1 \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{5}{3} \\
\end{bmatrix}
\]

Теперь приведем матрицу к улучшенному ступенчатому виду:

1) Вычтем из 1 строки половину 3 строки:

\[
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & | & \frac{1}{3} \\
0 & 1 & 0 & | & -1 \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{5}{3} \\
\end{bmatrix}
\]

2) Вычтем из 1 строки строку 3, умноженную на \(\frac{1}{3}\):

\[
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & | & -1 \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{5}{3} \\
\end{bmatrix}
\]

Матрица находится в ступенчатом виде, и ниже главной диагонали только нули.

Мы получили, что x = 0, y = -1 и z = \(\frac{5}{3}\).

Ответ: a. (0, -1, \(\frac{5}{3}\))