1) Сколько вариантов обмена ответами на вопросы между этими студентами возможно, если один подготовился к 13 вопросам

1) В данной задаче мы должны посчитать количество возможных комбинаций ответов, которые могут обменять студенты. Первый студент подготовился к 13 вопросам, а второй – к 17 вопросам, причем ответы у них разные.

Пусть первый студент выбирает вопрос для обмена ответами. У него есть 13 вариантов выбрать один из своих вопросов. Затем второй студент выбирает вопрос из своих 17 оставшихся вопросов. Таким образом, для первого обмена ответами существует \(13 \cdot 17 = 221\) возможных комбинаций.

Однако, после первого обмена ответами у них останется 12 вопросов у первого студента и 16 вопросов у второго студента. Следовательно, каждый последующий обмен будет иметь меньше возможных комбинаций.

Мы можем вычислить общее количество комбинаций, суммируя количество комбинаций для каждого возможного первого обмена.

Общее количество комбинаций обмена ответами равно:
\[221 + 12 \cdot 16 + 11 \cdot 15 + \ldots + 1 \cdot 5\]

Для удобства вычисления, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии, где первый элемент равен 221, последний равен 1, а разность равна -1.

Используя формулу суммы арифметической прогрессии:
\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]
где \(S\) – сумма всех элементов, \(n\) – количество элементов, \(a_1\) – первый элемент, \(a_n\) – последний элемент

Мы можем вычислить сумму всех комбинаций обмена ответами:
\[S = \frac{13}{2}(221 + 1) = 13 \cdot 111 = 1443\]

Таким образом, количество возможных комбинаций обмена ответами между этими студентами составляет 1443.

2) В данной задаче нам нужно посчитать количество способов составить список из 6 детских передач изначально запланированных 10. Для решения этой задачи мы можем использовать формулу комбинаторики – комбинации без повторений.

Такая комбинация вычисляется по формуле:
\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
где \(C_n^k\) – количество комбинаций из \(n\) элементов по \(k\) элементов, \(n!\) – факториал числа \(n\), \(k!\) – факториал числа \(k\), \((n-k)!\) – факториал разности \(n\) и \(k\).

В нашем случае, \(n = 10\) (всего 10 передач в исходном списке), а \(k = 6\) (необходимо составить список из 6 передач).

Подставляя значения в формулу комбинаторики:
\[C_{10}^{6} = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6! \cdot 4!}\]
\[= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]
\[= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]
\[= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4!}\]
\[= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]
\[= 210\]

Таким образом, количество способов составить список из 6 детских передач изначально запланированных 10 равно 210.

3) В данной задаче нам нужно посчитать количество способов выбрать 4 кустарника из 7 разных пород. Для решения этой задачи мы можем использовать формулу комбинаторики – комбинации без повторений.

Такая комбинация вычисляется по формуле:
\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
где \(C_n^k\) – количество комбинаций из \(n\) элементов по \(k\) элементов, \(n!\) – факториал числа \(n\), \(k!\) – факториал числа \(k\), \((n-k)!\) – факториал разности \(n\) и \(k\).

В данной задаче, \(n = 7\) (всего 7 разных пород кустарников), а \(k = 4\) (необходимо выбрать 4 кустарника).

Подставим значения в формулу комбинаторики:
\[C_{7}^{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!}\]
\[= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]
\[= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1}\]
\[= 35\]

Таким образом, количество способов выбрать 4 кустарника для посадки на участке составляет 35.

4) В данной задаче нам нужно посчитать количество способов спланировать поездки гаражного парка предприятия, состоящего из 6 разных автомобилей. Необходимо совершить три последовательные перевозки.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу перестановки – перестановки с повторением.

Такая перестановка вычисляется по формуле:
\[P_n^{k_1,k_2,...,k_m} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot ... \cdot k_m!}\]
где \(P_n^{k_1,k_2,...,k_m}\) – количество перестановок из \(n\) элементов, где \(k_1\) элементов первого типа, \(k_2\) элементов второго типа, и т.д., \(n!\) – факториал числа \(n\), \(k_1!\) – факториал числа \(k_1\), \(k_2!\) – факториал числа \(k_2\), и так далее.

В данной задаче, у нас есть 6 разных автомобилей, и мы должны совершить 3 последовательные перевозки. Таким образом, мы имеем 3 группы, содержащих все 6 автомобилей.

Подставим значения в формулу перестановки:
\[P_{6}^{3,3,6} = \frac{6!}{3! \cdot 3! \cdot 6!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!}\]
\[= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]
\[= 20\]

Таким образом, количество способов спланировать поездки гаражного парка предприятия составляет 20.