1. Сколько информационных символов содержится в коде, способном исправить одиночную ошибку, если число информационных

1. Чтобы определить количество информационных символов в коде, способном исправить одну ошибку, нужно использовать формулу для определения числа информационных символов \( k \) на основе общего числа комбинаций \( N \). Формула состоит из следующих шагов:
- Найдите количество бит \( n \) для кодирования общего числа комбинаций \( N \) с помощью формулы \( 2^n \geq N \).
- Вычислите количество проверочных бит \( r \) с помощью формулы \( r = \lceil \log_2(n+r+1) \rceil \), где \( \lceil x \rceil \) обозначает округление вверх до ближайшего целого числа.
- Определите количество информационных символов \( k = n - r \).

Теперь применим эту формулу к задаче. У нас дано \( N = 32 \). Найдем \( n \):
\[ 2^n \geq N \]
Решим неравенство:
\[ 2^n \geq 32 \]
Логарифмируем обе части неравенства:
\[ n \log_2(2) \geq \log_2(32) \]
Упростим:
\[ n \geq 5 \]

Таким образом, минимальное количество бит для кодирования 32 комбинаций - 5. Теперь найдем \( r \):
\[ r = \lceil \log_2(n+r+1) \rceil \]
Подставим значения:
\[ r = \lceil \log_2(5+r+1) \rceil \]
Пробуем разные значения для \( r \), начиная с 0:
\[ r = \lceil \log_2(5+0+1) \rceil = \lceil \log_2(6) \rceil = 3 \]

Теперь найдем количество информационных символов \( k \):
\[ k = n - r = 5 - 3 = 2 \]

Таким образом, для кода, способного исправить одиночную ошибку, и имеющего 32 информационных комбинации, количество информационных символов равно 2.

2. Избыточность корректирующего кода определяется как отношение общего числа кодовых комбинаций \( N \) к количеству информационных символов \( k \): \( \text{избыточность} = \frac{N}{k} - 1 \).

В данном случае, у нас дано \( N = 256 \). Количество информационных символов \( k \) рассчитывается аналогично задаче 1. Найдем \( n \):
\[ 2^n \geq N \]
Решим неравенство:
\[ 2^n \geq 256 \]
Логарифмируем обе части неравенства:
\[ n \log_2(2) \geq \log_2(256) \]
Упростим:
\[ n \geq 8 \]

Таким образом, минимальное количество бит для кодирования 256 комбинаций - 8. Теперь найдем \( r \):
\[ r = \lceil \log_2(n+r+1) \rceil \]
Подставим значения:
\[ r = \lceil \log_2(8+r+1) \rceil \]
Пробуем разные значения для \( r \), начиная с 0:
\[ r = \lceil \log_2(9) \rceil = 4 \]

Теперь найдем количество информационных символов \( k \):
\[ k = n - r = 8 - 4 = 4 \]

Таким образом, избыточность данного корректирующего кода равна:
\[ \text{избыточность} = \frac{N}{k} - 1 = \frac{256}{4} - 1 = 64 - 1 = 63 \]

Избыточность корректирующего кода составляет 63.

3. Для перевода двоичного числа в десятичную систему по правилу четности, необходимо удалить бит, отвечающий за проверку четности, и оставить только информационные биты. Затем, оставшиеся биты следует суммировать с весами степеней двойки.

Используя данное правило, переведем заданные двоичные числа в десятичную систему:

Для двоичного числа 010101100011:
- Удаляем бит, отвечающий за проверку четности (нулевой бит): 10101100011
- Вычисляем сумму оставшихся битов с учетом весов:
\[ 1 \cdot 2^{10} + 0 \cdot 2^9 + 1 \cdot 2^8 + 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \]
\[ = 1024 + 0 + 256 + 0 + 64 + 32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 \]
\[ = 1419 \]

Таким образом, двоичное число 010101100011 равно десятичному числу 1419.

Теперь проделаем аналогичные шаги для двоичных чисел 111110001100 и 000010001010.

Для двоичного числа 111110001100:
- Удаляем бит, отвечающий за проверку четности (нулевой бит): 11110001100
- Вычисляем сумму оставшихся битов с учетом весов:
\[ 1 \cdot 2^{10} + 1 \cdot 2^9 + 1 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 \]
\[ = 1024 + 512 + 256 + 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 \]
\[ = 2192 \]

Для двоичного числа 000010001010:
- Удаляем бит, отвечающий за проверку четности (нулевой бит): 00010001010
- Вычисляем сумму оставшихся битов с учетом весов:
\[ 0 \cdot 2^{10} + 0 \cdot 2^9 + 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 \]
\[ = 0 + 0 + 0 + 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 \]
\[ = 138 \]

Таким образом, двоичные числа 111110001100 и 000010001010 равны десятичным числам 2192 и 138 соответственно.

4. Для закодирования последовательности 10011010 с помощью кода Хэмминга, необходимо добавить проверочные биты, которые будут указывать на места возможных ошибок.

Шаги для закодирования последовательности:
1. Разместите информационные биты (символы, которые нужно закодировать) на позициях, маркированных с индексами степеней двойки. В данном случае, позиции будут иметь индексы 1, 2, 4, и 8:
\[ \_1\_0\_0\_1\_1\_0\_1\_0 \]
2. Установите значения проверочных битов. Количество проверочных битов \( r \) рассчитывается по формуле \( r = \lceil \log_2(n+r+1) \rceil \), где \( n \) - число информационных битов (\( n = 8 \)), а \( r \) - количество проверочных битов, которые нужно добавить. В данном случае, \( r = \lceil \log_2(8+r+1) \rceil \) будет равно 3, так как мы добавляем 3 проверочных бита. Разместите эти биты на позициях, маркированных степенями двойки (индексы 1, 2, и 4):
\[ r\_1\_0r\_0\_0r \]
3. Вычислите значения проверочных битов. Для каждого проверочного бита, выполните следующие действия:
- Присвойте начальное значение 0.
- Пройдите по всем позициям, которые влияют на значение данного проверочного бита. Для каждой позиции, где проверочный бит влияет на значение, выполните операцию XOR над изначальным значением проверочного бита и значением информационного бита на данной позиции.
4. Проверьте, какие проверочные биты указывают на наличие ошибки. Если у вас есть позиции проверочных битов, в которых есть ошибки, определите номер бита, суммируя значения позиций с ошибками. Этот номер будет указывать на позицию с ошибкой.
5. Исправьте ошибку, инвертировав бит на позиции, указанной в результате предыдущего шага.

Применим эти шаги к последовательности 10011010:

1. Разместим информационные биты на позициях с индексами степеней двойки:
\[ \_1\_0\_0\_1\_1\_0\_1\_0 \]
2. Добавим проверочные биты на позициях с индексами степеней двойки:
\[ r\_1\_0r\_0\_0r \]
3. Вычислим значения проверочных битов:
\[ r\_1\_0r\_0\_0r \]
\[ 00000000 \oplus 1 = 1 \]
\[ 10000000 \oplus 1 = 10000001 \]
\[ 00010000 \oplus 10000001 = 10010001 \]
4. Проверим, какие проверочные биты указывают на наличие ошибки. В данном случае, все проверочные биты равны 0, что означает отсутствие ошибок.
5. Так как нет ошибок, закодированная последовательность будет иметь следующий вид:
\[ 11010000101 \]

Таким образом, последовательность 10011010 закодирована с помощью кода Хэмминга как 11010000101.