1. Пожалуйста, переформулируйте следующие вопросы:
- Каковы значения ef и площади треугольника def, если в треугольнике def стороны de и df равны 2 см и 4 см, а ∠d равен 50 градусам?
- Чему равна площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см?
- Докажите, что треугольник abc является равнобедренным, если координаты его вершин a(-4; 1), b(-2; 4) и c(0; 1).
- Найдите длину медианы, проведенной к основанию, в треугольнике abc.
- Каковы значения ef и площади треугольника def, если в треугольнике def стороны de и df равны 2 см и 4 см, а ∠d равен 50 градусам?
- Чему равна площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см?
- Докажите, что треугольник abc является равнобедренным, если координаты его вершин a(-4; 1), b(-2; 4) и c(0; 1).
- Найдите длину медианы, проведенной к основанию, в треугольнике abc.
Ledyanaya_Magiya
1. Какие значения имеют длины сторон \(ef\) и площадь треугольника \(def\), если стороны \(de\) и \(df\) равны 2 см и 4 см соответственно, а угол \(d\) равен 50 градусам?
Решение:
Для нахождения значений длин сторон \(ef\) и площади треугольника \(def\) воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]
где \(c\) - длина третьей стороны, \(a\) и \(b\) - длины двух других сторон, а \(C\) - угол противолежащий третьей стороне.
В нашем случае третьей стороной является сторона \(ef\), сторонами \(de\) и \(df\) являются \(a\) и \(b\) соответственно, а угол \(d\) - \(C\).
Подставляем известные значения в формулу:
\[ef^2 = de^2 + df^2 - 2 \cdot de \cdot df \cdot \cos(d)\]
\[ef^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos(50^\circ)\]
\[ef^2 = 4 + 16 - 16 \cdot \cos(50^\circ)\]
Найдем значение \(\cos(50^\circ)\) с помощью калькулятора:
\[\cos(50^\circ) \approx 0.6428\]
Подставляем значение \(\cos(50^\circ)\) в формулу:
\[ef^2 = 4 + 16 - 16 \cdot 0.6428\]
\[ef^2 = 4 + 16 - 10.285\]
\[ef^2 = 9.715\]
Найдем квадратный корень из \(ef^2\) для получения значения длины стороны \(ef\):
\[ef \approx \sqrt{9.715} \approx 3.11\]
Длина стороны \(ef\) округляется до двух десятичных знаков.
Теперь, чтобы найти площадь треугольника \(def\), воспользуемся формулой площади треугольника по длинам его сторон \(a\), \(b\) и \(c\), которая имеет вид:
\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника, равный \((a + b + c) / 2\).
Подставляем известные значения:
\[p = (de + df + ef) / 2 = (2 + 4 + 3.11) / 2 = 4.555\]
\[S = \sqrt{4.555 \cdot (4.555 - 2) \cdot (4.555 - 4) \cdot (4.555 - 3.11)}\]
\[S = \sqrt{4.555 \cdot 2.555 \cdot 0.555 \cdot 1.445}\]
\[S = \sqrt{2.872}\]
\[S \approx 1.694\]
Площадь треугольника \(def\) округляется до трех десятичных знаков.
Итак, значения длин сторон \(ef\) и площади треугольника \(def\) при данных условиях равны примерно 3.11 см и 1.694 кв. см соответственно.
2. Какова площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см?
Решение:
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника.
Подставляем известные значения:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\]
Получили, что площадь прямоугольного треугольника равна 24 кв. см.
Круг, в который вписан прямоугольный треугольник, называется описанным кругом, а его радиус равен половине гипотенузы прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора можно найти гипотенузу треугольника:
\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]
\[c = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\]
Половина гипотенузы равна половине радиуса описанного круга:
\[r = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5\]
Для нахождения площади круга воспользуемся формулой:
\[S = \pi \cdot r^2\]
Подставляем значение радиуса:
\[S = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\]
Площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см, равна \(25\pi\) квадратных сантиметров.
3. Как доказать, что треугольник \(abc\) является равнобедренным, если координаты его вершин \(a(-4; 1)\), \(b(-2; 4)\) и \(c(0; 1)\)?
Решение:
Чтобы доказать, что треугольник \(abc\) является равнобедренным, необходимо и достаточно показать, что длины двух его сторон равны. В данном случае, у нас есть вершины треугольника, поэтому мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат, чтобы найти длины сторон треугольника.
Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) вычисляется по формуле:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
Найдем длины сторон треугольника \(abc\):
Сторона \(ab\):
\[d_{ab} = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\]
Сторона \(ac\):
\[d_{ac} = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 0} = \sqrt{16} = 4\]
Сторона \(bc\):
\[d_{bc} = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\]
Как видно из вычислений, длины сторон \(ab\) и \(bc\) равны \(\sqrt{13}\), то есть они равны. Следовательно, треугольник \(abc\) является равнобедренным.
4. Как найти длину медианы, проведенной к основанию, в треугольнике?
Решение:
Для нахождения значений длин сторон \(ef\) и площади треугольника \(def\) воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]
где \(c\) - длина третьей стороны, \(a\) и \(b\) - длины двух других сторон, а \(C\) - угол противолежащий третьей стороне.
В нашем случае третьей стороной является сторона \(ef\), сторонами \(de\) и \(df\) являются \(a\) и \(b\) соответственно, а угол \(d\) - \(C\).
Подставляем известные значения в формулу:
\[ef^2 = de^2 + df^2 - 2 \cdot de \cdot df \cdot \cos(d)\]
\[ef^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos(50^\circ)\]
\[ef^2 = 4 + 16 - 16 \cdot \cos(50^\circ)\]
Найдем значение \(\cos(50^\circ)\) с помощью калькулятора:
\[\cos(50^\circ) \approx 0.6428\]
Подставляем значение \(\cos(50^\circ)\) в формулу:
\[ef^2 = 4 + 16 - 16 \cdot 0.6428\]
\[ef^2 = 4 + 16 - 10.285\]
\[ef^2 = 9.715\]
Найдем квадратный корень из \(ef^2\) для получения значения длины стороны \(ef\):
\[ef \approx \sqrt{9.715} \approx 3.11\]
Длина стороны \(ef\) округляется до двух десятичных знаков.
Теперь, чтобы найти площадь треугольника \(def\), воспользуемся формулой площади треугольника по длинам его сторон \(a\), \(b\) и \(c\), которая имеет вид:
\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника, равный \((a + b + c) / 2\).
Подставляем известные значения:
\[p = (de + df + ef) / 2 = (2 + 4 + 3.11) / 2 = 4.555\]
\[S = \sqrt{4.555 \cdot (4.555 - 2) \cdot (4.555 - 4) \cdot (4.555 - 3.11)}\]
\[S = \sqrt{4.555 \cdot 2.555 \cdot 0.555 \cdot 1.445}\]
\[S = \sqrt{2.872}\]
\[S \approx 1.694\]
Площадь треугольника \(def\) округляется до трех десятичных знаков.
Итак, значения длин сторон \(ef\) и площади треугольника \(def\) при данных условиях равны примерно 3.11 см и 1.694 кв. см соответственно.
2. Какова площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см?
Решение:
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника.
Подставляем известные значения:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\]
Получили, что площадь прямоугольного треугольника равна 24 кв. см.
Круг, в который вписан прямоугольный треугольник, называется описанным кругом, а его радиус равен половине гипотенузы прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора можно найти гипотенузу треугольника:
\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]
\[c = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\]
Половина гипотенузы равна половине радиуса описанного круга:
\[r = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5\]
Для нахождения площади круга воспользуемся формулой:
\[S = \pi \cdot r^2\]
Подставляем значение радиуса:
\[S = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\]
Площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см, равна \(25\pi\) квадратных сантиметров.
3. Как доказать, что треугольник \(abc\) является равнобедренным, если координаты его вершин \(a(-4; 1)\), \(b(-2; 4)\) и \(c(0; 1)\)?
Решение:
Чтобы доказать, что треугольник \(abc\) является равнобедренным, необходимо и достаточно показать, что длины двух его сторон равны. В данном случае, у нас есть вершины треугольника, поэтому мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат, чтобы найти длины сторон треугольника.
Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) вычисляется по формуле:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
Найдем длины сторон треугольника \(abc\):
Сторона \(ab\):
\[d_{ab} = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\]
Сторона \(ac\):
\[d_{ac} = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 0} = \sqrt{16} = 4\]
Сторона \(bc\):
\[d_{bc} = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\]
Как видно из вычислений, длины сторон \(ab\) и \(bc\) равны \(\sqrt{13}\), то есть они равны. Следовательно, треугольник \(abc\) является равнобедренным.
4. Как найти длину медианы, проведенной к основанию, в треугольнике?
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
