1. Пожалуйста, переформулируйте следующие вопросы: - Каковы значения ef и площади треугольника def, если в треугольнике

1. Какие значения имеют длины сторон $ef$ и площадь треугольника $def$, если стороны $de$ и $df$ равны 2 см и 4 см соответственно, а угол $d$ равен 50 градусам?

Решение:
Для нахождения значений длин сторон $ef$ и площади треугольника $def$ воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (C)$$

где $c$ - длина третьей стороны, $a$ и $b$ - длины двух других сторон, а $C$ - угол противолежащий третьей стороне.

В нашем случае третьей стороной является сторона $ef$, сторонами $de$ и $df$ являются $a$ и $b$ соответственно, а угол $d$ - $C$.

Подставляем известные значения в формулу:

$$e{f}^2=d{e}^2+d{f}^2-2\cdot de\cdot df\cdot \cos (d)$$

$$e{f}^2=2^2+4^2-2\cdot 2\cdot 4\cdot \cos ({50}^{\circ })$$

$$e{f}^2=4+16-16\cdot \cos ({50}^{\circ })$$

Найдем значение $\cos ({50}^{\circ })$ с помощью калькулятора:

$$\cos ({50}^{\circ })\approx 0.6428$$

Подставляем значение $\cos ({50}^{\circ })$ в формулу:

$$e{f}^2=4+16-16\cdot 0.6428$$

$$e{f}^2=4+16-10.285$$

$$e{f}^2=9.715$$

Найдем квадратный корень из $e{f}^2$ для получения значения длины стороны $ef$:

$$ef\approx \sqrt{9.715}\approx 3.11$$

Длина стороны $ef$ округляется до двух десятичных знаков.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника $def$, воспользуемся формулой площади треугольника по длинам его сторон $a$, $b$ и $c$, которая имеет вид:

$$S=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}$$

где $S$ - площадь треугольника, $p$ - полупериметр треугольника, равный $(a+b+c)/2$.

Подставляем известные значения:

$$p=(de+df+ef)/2=(2+4+3.11)/2=4.555$$

$$S=\sqrt{4.555\cdot (4.555-2)\cdot (4.555-4)\cdot (4.555-3.11)}$$

$$S=\sqrt{4.555\cdot 2.555\cdot 0.555\cdot 1.445}$$

$$S=\sqrt{2.872}$$

$$S\approx 1.694$$

Площадь треугольника $def$ округляется до трех десятичных знаков.

Итак, значения длин сторон $ef$ и площади треугольника $def$ при данных условиях равны примерно 3.11 см и 1.694 кв. см соответственно.

2. Какова площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см?

Решение:
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$$

где $S$ - площадь треугольника, $a$ и $b$ - длины катетов треугольника.

Подставляем известные значения:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24$$

Получили, что площадь прямоугольного треугольника равна 24 кв. см.

Круг, в который вписан прямоугольный треугольник, называется описанным кругом, а его радиус равен половине гипотенузы прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора можно найти гипотенузу треугольника:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

$$c=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$$

Половина гипотенузы равна половине радиуса описанного круга:

$$r=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Для нахождения площади круга воспользуемся формулой:

$$S=\pi \cdot r^2$$

Подставляем значение радиуса:

$$S=\pi \cdot 5^2=25\pi$$

Площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см, равна $25\pi$ квадратных сантиметров.

3. Как доказать, что треугольник $abc$ является равнобедренным, если координаты его вершин $a(-4;1)$, $b(-2;4)$ и $c(0;1)$?

Решение:
Чтобы доказать, что треугольник $abc$ является равнобедренным, необходимо и достаточно показать, что длины двух его сторон равны. В данном случае, у нас есть вершины треугольника, поэтому мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат, чтобы найти длины сторон треугольника.

Расстояние между двумя точками $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ вычисляется по формуле:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

Найдем длины сторон треугольника $abc$:

Сторона $ab$:
$$d_{ab}=\sqrt{(-2-(-4){)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$

Сторона $ac$:
$$d_{ac}=\sqrt{(0-(-4){)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{4^2+0^2}=\sqrt{16+0}=\sqrt{16}=4$$

Сторона $bc$:
$$d_{bc}=\sqrt{(0-(-2){)}^2+(1-4{)}^2}=\sqrt{2^2+(-3{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$

Как видно из вычислений, длины сторон $ab$ и $bc$ равны $\sqrt{13}$, то есть они равны. Следовательно, треугольник $abc$ является равнобедренным.

4. Как найти длину медианы, проведенной к основанию, в треугольнике?