1. Пользуясь теоремой косинусов, выразите квадрат стороны см в треугольнике cdm. 2. Пользуясь теоремой косинусов

Хорошо, решим каждую задачу по порядку:

1. Для начала, давайте обозначим стороны треугольника \(cdm\) как \(cd\), \(cm\) и \(md\), а углы при этих сторонах как \(\angle c\), \(\angle d\) и \(\angle m\) соответственно. Согласно теореме косинусов, мы можем записать:

\[cd^2 = cm^2 + md^2 - 2 \cdot cm \cdot md \cdot \cos(\angle c)\]

2. Аналогично предыдущему пункту, обозначим стороны треугольника \(acd\) как \(ac\), \(ad\) и \(cd\), а углы при этих сторонах как \(\angle a\), \(\angle c\) и \(\angle d\) соответственно. Используя теорему косинусов, получим:

\[ac^2 = ad^2 + cd^2 - 2 \cdot ad \cdot cd \cdot \cos(\angle a)\]

3. Теперь рассмотрим треугольник \(авс\). Обозначим стороны как \(ав\), \(ac\) и \(св\), а углы при этих сторонах как \(\angle a\), \(\angle в\) и \(\angle с\) соответственно. Применяя опять теорему косинусов, мы получим:

\[\cos(\angle c) = \frac{{ac^2 + av^2 - cv^2}}{{2 \cdot ac \cdot av}}\]

4. Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим треугольник \(вас\). Пусть стороны обозначаются как \(вс\), \(ас\) и \(ав\), а углы при этих сторонах обозначены как \(\angle в\), \(\angle а\) и \(\angle с\) соответственно. Используя теорему косинусов, получим:

\[\cos(\angle a) = \frac{{вс^2 + ас^2 - ав^2}}{{2 \cdot вс \cdot ас}}\]

5. Теорема синусов для треугольника \(оре\) утверждает следующее:

\[\frac{{ро}}{{\sin(\angle о)}} = \frac{{ер}}{{\sin(\angle р)}} = \frac{{ое}}{{\sin(\angle е)}}\]

6. Аналогично, теорема синусов для треугольника \(кмт\) имеет вид:

\[\frac{{км}}{{\sin(\angle к)}} = \frac{{мт}}{{\sin(\angle м)}} = \frac{{тк}}{{\sin(\angle т)}}\]

7. В данной задаче, в треугольнике \(ено\) известны стороны \(ен = 8\), \(но = 16\) и \(ео = 12\), а также угол \(\angle н = 45^\circ\). Мы хотим вычислить синус угла \(\angle е\). Для этого воспользуемся теоремой синусов:

\[\sin(\angle е) = \frac{{но}}{{ен}} \cdot \sin(\angle н)\]

Подставим значения в формулу и вычислим:

\[\sin(\angle е) = \frac{{16}}{{8}} \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{2}\]

8. В данной задаче, в треугольнике \(аме\) известны стороны \(ам = 9\), \(ме = 18\) и \(ае = 15\), а также угол \(\angle н\). Нам нужно выразить синус угла \(\angle а\). Снова воспользуемся теоремой синусов:

\[\sin(\angle а) = \frac{{ам}}{{ае}} \cdot \sin(\angle н)\]

Подставим значения и вычислим:

\[\sin(\angle а) = \frac{{9}}{{15}} \cdot \sin(\angle н)\]