1. Определите общий периметр треугольника АВС, если периметр треугольника ADC составляет 18 см, а длина отрезка

1. Для решения этой задачи воспользуемся свойствами треугольников.

Первым шагом найдем длину отрезка AD, так как по условию AD равно BD. Поскольку длина отрезка CD равна 6 см, то длина отрезка AD также равна 6 см.

Далее, общий периметр треугольника АВС можно найти суммированием длин всех сторон треугольника. Так как периметр треугольника ADC равен 18 см, то сумма длин сторон AD, CD и AC также равна 18 см.

Известно, что AD = BD = CD = 6 см. Теперь нам нужно найти длину стороны AC.

Обратимся к треугольнику АВС. Заметим, что стороны AD и BD являются боковыми сторонами треугольника АВС, а сторона AC - основанием. Так как боковые стороны треугольника АВС равны AD и BD, а основание равно AC, то получаем, что AC = AD + BD = 6 + 6 = 12 см.

Теперь, найдем общий периметр треугольника АВС с помощью суммирования длин его сторон: AB + BC + AC = 12 + BC + 12 = BC + 24 см.

Поскольку периметр треугольника ADC составляет 18 см, то сумма длин сторон AD, CD и AC равна 18 см: 6 + 6 + AC = 18.

Подставляем найденное значение для AC: 6 + 6 + 12 = 18.

Следовательно, BC = 0 см.

Теперь мы можем найти общий периметр треугольника АВС, подставив BC = 0 см в уравнение BC + 24 = 18: 0 + 24 = 18.

Значит, общий периметр треугольника АВС равен 24 см.

Ответ: Общий периметр треугольника АВС составляет 24 см.

---

2. Для доказательства равнобедренности треугольника, когда высота и биссектриса, проведенные из одной вершины, имеют одинаковые значения, воспользуемся следующими свойствами треугольников.

Пусть треугольник ABC имеет вершину A и высоту BH, а также биссектрису BK, которые имеют одинаковые значения.

Докажем, что стороны AB и BC равны между собой.

Так как BH является высотой, она перпендикулярна стороне AC, следовательно, у треугольников ABH и BCH углы ABH и BCH являются прямыми углами.

Так как BH и BK имеют одинаковые значения, то отрезки AH и CK также имеют одинаковые значения, так как они являются отрезками, смежными биссектрисе BK.

Теперь рассмотрим треугольники ABH и CBK. У них совпадают:

1) Пары AB и CB, так как это боковые стороны треугольников;
2) Пары углов ABH и CBK, так как это прямые углы;
3) Пары углов BAH и BCK имеют одинаковые значения, так как это углы при пересечении высоты и биссектрисы.

Следовательно, треугольники ABH и CBK равны между собой по двум сторонам и углу, следовательно, третьи стороны AB и BC равны между собой.

Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным с равными сторонами AB и BC, что и требовалось доказать.

Ответ: Если высота и биссектриса, проведенные из одной вершины треугольника, имеют одинаковые значения, то треугольник является равнобедренным.